L’essentiel
La loi des nœuds dit que la somme des intensités qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités qui en partent. La loi des mailles dit que la somme algébrique des tensions le long d’une maille est nulle. Ces deux lois permettent de calculer une intensité ou une tension inconnue dans un circuit.
Nœud, branche, maille : le vocabulaire
Avant d’appliquer la loi des nœuds et la loi des mailles, il faut savoir repérer trois éléments sur le schéma du circuit. Ces deux lois portent le nom de lois de Kirchhoff, d’après le physicien allemand qui les a énoncées en 1845.
- Nœud : point où se rejoignent au moins trois fils.
- Branche : portion de circuit entre deux nœuds voisins. L’intensité y est la même partout.
- Maille : chemin fermé qu’on peut parcourir en revenant à son point de départ, sans passer deux fois par le même dipôle.
Astuce : Un circuit en série n’a aucun nœud et une seule maille. Dès qu’il y a une dérivation, deux nœuds apparaissent, et plusieurs mailles.
La loi des nœuds
Les charges électriques ne s’accumulent pas à un nœud et n’y disparaissent pas. Tout ce qui arrive doit donc repartir : c’est une conservation du débit, comme l’eau à un embranchement de tuyaux.
À un nœud : somme des intensités qui arrivent = somme des intensités qui partent.
- Un courant de 0,80 A arrive à un nœud et se partage en deux branches. Si I₁ = 0,35 A, alors I₂ = 0,80 − 0,35 = 0,45 A.
- Deux courants de 120 mA et 50 mA arrivent à un nœud, et un courant de 30 mA en part par une première branche. La seconde branche emporte 120 + 50 − 30 = 140 mA.
La loi des mailles
Sur un schéma, chaque tension est représentée par une flèche. Pour écrire la loi, on choisit un sens de parcours de la maille, puis on en fait le tour à partir d’un point.
Le long d’une maille : une tension dont la flèche va dans le sens du parcours compte +, une tension de sens contraire compte −. La somme vaut 0.
- Un générateur de tension U_G = 12 V alimente en série deux dipôles de tensions U₁ et U₂. En suivant le courant, la flèche de U_G est de sens contraire aux deux autres : U_G − U₁ − U₂ = 0.
- Si U₁ = 7,5 V, alors U₂ = 12 − 7,5 = 4,5 V.
Astuce : Pour un générateur, la flèche de tension pointe vers la borne +. Pour un récepteur, elle est orientée en sens inverse du courant.
Méthode : résoudre un circuit pas à pas
Prenons un générateur de 12 V en série avec un dipôle D₁, suivi de deux dipôles D₂ et D₃ branchés en dérivation. On mesure U₁ = 4,0 V, I = 0,20 A dans la branche principale et I₂ = 0,12 A dans D₂. On cherche U₂, U₃ et I₃.
- Étape 1, la maille générateur, D₁, D₂ : 12 − U₁ − U₂ = 0, donc U₂ = 12 − 4,0 = 8,0 V.
- Étape 2, la maille D₂, D₃ : U₂ − U₃ = 0, donc U₃ = 8,0 V. Deux dipôles en dérivation ont la même tension.
- Étape 3, le nœud : I = I₂ + I₃, donc I₃ = 0,20 − 0,12 = 0,08 A.
- Étape 4, la vérification : 12 − 4,0 − 8,0 = 0 pour la maille et 0,12 + 0,08 = 0,20 A pour le nœud.
Du collège au lycée : les mêmes lois sous deux noms
En quatrième, on parle de lois d’unicité et d’additivité. Ce sont des cas particuliers des lois de Kirchhoff, qui restent valables dans les circuits plus compliqués.
| Montage | Intensité | Tension |
|---|---|---|
| En série | Unicité : I = I₁ = I₂ (pas de nœud) | Additivité : U = U₁ + U₂ (loi des mailles) |
| En dérivation | Additivité : I = I₁ + I₂ (loi des nœuds) | Unicité : U = U₁ = U₂ (loi des mailles) |
Les erreurs à éviter
Dans une maille, on additionne toutes les tensions. On tient compte du sens de chaque flèche.
La somme est algébrique : sans les signes, elle ne pourrait pas valoir 0.
L’intensité diminue après chaque dipôle. L’intensité est la même dans toute une branche.
Le courant n’est pas consommé. C’est l’énergie qui est transférée aux dipôles, pas les charges.
Le point où deux fils se touchent est un nœud. Un nœud relie au moins trois fils.
Avec deux fils seulement, le courant n’a pas de choix : il continue dans la même branche.
Exercices corrigés
1. Un courant de 0,50 A arrive à un nœud et 0,20 A repart par une branche. Quelle intensité repart par la seconde branche ?
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0,30 A. Loi des nœuds : 0,50 = 0,20 + I, donc I = 0,30 A.
2. Qu’est-ce qu’une maille ?
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Un chemin fermé dans un circuit. Une maille est un chemin fermé. Le premier choix définit un nœud, le deuxième une branche.
3. Un générateur de 6,0 V alimente deux dipôles en série. On mesure U₁ = 2,5 V. Que vaut U₂ ?
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3,5 V. Loi des mailles : 6,0 − 2,5 − U₂ = 0, donc U₂ = 3,5 V.
4. Deux lampes sont en dérivation aux bornes d’une pile de 4,5 V. Quelle est la tension aux bornes de chaque lampe ?
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4,5 V. Chaque lampe forme une maille avec la pile : U = 4,5 V. La tension ne se partage pas en dérivation.
5. À un nœud arrivent 80 mA et 40 mA. Il en part 30 mA et un courant I. Que vaut I ?
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90 mA. 80 + 40 = 30 + I, donc I = 120 − 30 = 90 mA.
6. Un générateur de 9,0 V alimente D₁ en série avec D₂ et D₃ en dérivation. U₁ = 3,0 V, I = 150 mA dans D₁ et I₂ = 100 mA. Que valent U₃ et I₃ ?
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6,0 V et 50 mA. Maille : U₂ = 9,0 − 3,0 = 6,0 V, et U₃ = U₂ en dérivation. Nœud : I₃ = 150 − 100 = 50 mA.
Questions fréquentes
Comment appliquer la loi des mailles ?
Choisis un sens de parcours et un point de départ. Fais le tour de la maille en comptant + les tensions dont la flèche suit ce sens, et − les autres. Écris que la somme vaut 0, puis isole l’inconnue.
Quelle différence entre loi des mailles et additivité des tensions ?
L’additivité des tensions, vue au collège, est l’application de la loi des mailles à un circuit en série : U = U₁ + U₂. La loi des mailles s’applique à n’importe quel chemin fermé.
Qui a découvert ces lois ?
Le physicien allemand Gustav Kirchhoff les a énoncées en 1845. C’est pourquoi on les appelle aussi les lois de Kirchhoff.
La loi des nœuds fonctionne-t-elle en courant alternatif ?
Oui, dans les circuits usuels, à condition de l’appliquer aux intensités à un même instant : à chaque instant, ce qui arrive au nœud en repart.