Équations : comment résoudre une équation et une inéquation

Qu’est-ce qu’une équation ?

Les équations traduisent une question : pour quelle valeur de x cette égalité est-elle vraie ? Dans 2x + 1 = 7, la partie à gauche du signe = est le premier membre, celle à droite le second membre, et x est l’inconnue.

Une solution est une valeur qui rend l’égalité vraie. Ici, x = 3 est solution, car 2 × 3 + 1 = 7. Et x = 4 ne l’est pas, car 2 × 4 + 1 = 9.

Comment résoudre une équation du premier degré

Une égalité reste vraie si on ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres, ou si on les multiplie ou divise par le même nombre non nul.

• Exemple résolu : résous 5x − 4 = 2x + 11.
• Étape 1 : regroupe les x à gauche. On soustrait 2x : 3x − 4 = 11.
• Étape 2 : regroupe les nombres à droite. On ajoute 4 : 3x = 15.
• Étape 3 : isole x. On divise par 3 : x = 5.
• Étape 4 : vérifie. 5 × 5 − 4 = 21 et 2 × 5 + 11 = 21. La solution est bien 5.

• Avec des parenthèses : 3(x − 2) = x + 4 devient 3x − 6 = x + 4, puis 2x = 10, donc x = 5.
• Avec une fraction : x/3 + 2 = 6 devient x/3 = 4, donc x = 12.
• Cas particulier : 2x + 3 = 2x + 5 n’a aucune solution, car 3 n’est jamais égal à 5.

Vérifier avec le calculateur d’équation

Le calculateur résout les équations de la forme ax + b = cx + d. Pour 5x − 4 = 2x + 11, saisis a = 5, b = -4, c = 2 et d = 11, avec le signe moins du clavier. Il affiche l’étape 3x = 15 et le résultat x = 5.

Si un terme manque, saisis 0 : pour x + 3 = 7, saisis a = 1, b = 3, c = 0 et d = 7. Avec des parenthèses, développe d’abord, puis saisis la forme obtenue. Le calculateur signale aussi les équations sans solution et celles où tous les nombres sont solutions.

Mettre un problème en équation

• Étape 1 : choisis l’inconnue et dis ce qu’elle représente.
• Étape 2 : traduis l’énoncé par une égalité.
• Étape 3 : résous l’équation.
• Étape 4 : réponds à la question en phrase, et vérifie que le résultat a du sens.

• La somme de trois entiers consécutifs vaut 72. Soit x le plus petit : x + (x + 1) + (x + 2) = 72, donc 3x + 3 = 72, 3x = 69 et x = 23. Les nombres sont 23, 24 et 25.

Équation produit nul, x² = a et résolution graphique

Pour résoudre graphiquement f(x) = k, trace la droite horizontale d’ordonnée k. Les solutions sont les abscisses des points où elle coupe la courbe de f. La lecture graphique donne en général des valeurs approchées.

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.

• (x − 3)(2x + 5) = 0 : x − 3 = 0 ou 2x + 5 = 0, donc x = 3 ou x = −2,5.
• x² = 16 a deux solutions : x = 4 ou x = −4.

Comment résoudre une inéquation

Une inéquation se résout comme une équation, avec les signes <, >, ≤ ou ≥. Ses solutions forment en général un intervalle.

Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.

• Exemple résolu : résous −2x + 3 > 9.
• Étape 1 : soustrais 3. −2x > 6.
• Étape 2 : divise par −2 et change le sens. x < −3.
• Étape 3 : donne les solutions. Ce sont tous les nombres strictement inférieurs à −3, soit l’intervalle ]−∞ ; −3[.
• Contrôle : pour x = −4, −2 × (−4) + 3 = 11, et 11 > 9.

1. 1. Résous x + 9 = 4.

   135−5−13
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   −5. On soustrait 9 : x = 4 − 9 = −5.

2. 2. Résous 4x = 26.

   226,530104
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   6,5. On divise par 4 : x = 26 ÷ 4 = 6,5.

3. 3. Résous 7x − 3 = 4x + 12.

   53915
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   5. 3x − 3 = 12, puis 3x = 15, donc x = 5. Vérification : 32 des deux côtés.

4. 4. Résous 2(x + 3) = 5x − 6.

   3−4412
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   4. 2x + 6 = 5x − 6, donc 12 = 3x et x = 4. Le résultat 3 vient d’un oubli : 2 × 3 = 6, et non 3.

5. 5. Quelles sont les solutions de (x + 2)(x − 6) = 0 ?

   2 et −6−2 et 6−126 seulement
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   −2 et 6. x + 2 = 0 donne x = −2, et x − 6 = 0 donne x = 6.

6. 6. Résous −3x + 1 ≥ 10.

   x ≥ −3x ≥ 3x ≤ 3x ≤ −3
   Voir la correction

   x ≤ −3. −3x ≥ 9, puis on divise par −3 en changeant le sens : x ≤ −3.