L’essentiel
La fonction ln, ou logarithme népérien, est la réciproque de la fonction exponentielle : ln(exp(x)) = x, et exp(ln x) = x pour x > 0. Elle transforme les produits en sommes : ln(ab) = ln a + ln b. L’exponentielle fait l’inverse : exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
Les fonctions ln et exponentielle
La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[ et la fonction exponentielle sur tous les réels. Ce sont deux fonctions réciproques : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x.
La fonction exponentielle est l’unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0. Le nombre e est exp(1), environ 2,718. On écrit aussi exp(x) = eˣ.
Pour tout x > 0 et tout réel y : y = ln x équivaut à x = exp(y). Valeurs à connaître : ln 1 = 0, ln e = 1, exp(0) = 1.
| exp | ln | |
|---|---|---|
| Ensemble de définition | Tous les réels | ]0 ; +∞[ |
| Signe | Toujours strictement positive | Négative sur ]0 ; 1[, positive sur ]1 ; +∞[ |
| Dérivée | exp(x) | 1/x |
| Variations | Strictement croissante | Strictement croissante |
Les propriétés du logarithme népérien et de l’exponentielle
Ces formules sont valables pour a et b strictement positifs dans le cas de ln, et pour tous réels dans le cas de exp. Elles sont le cœur des calculs.
| Logarithme népérien | Exponentielle |
|---|---|
| ln(ab) = ln a + ln b | exp(a + b) = exp(a) × exp(b) |
| ln(a/b) = ln a − ln b | exp(a − b) = exp(a) ÷ exp(b) |
| ln(1/a) = −ln a | exp(−a) = 1 ÷ exp(a) |
| ln(aⁿ) = n × ln a | exp(n × a) = (exp(a))ⁿ |
| ln(√a) = 1/2 × ln a | exp(a/2) = √(exp(a)) |
- ln 12 = ln(4 × 3) = ln 4 + ln 3 = 2 ln 2 + ln 3.
- ln(8) − ln(2) = ln(8/2) = ln 4 = 2 ln 2.
- exp(3) × exp(−1) = exp(3 − 1) = exp(2).
Astuce : Il n’existe aucune formule pour ln(a + b) ni pour ln a × ln b. Le produit de deux logarithmes reste tel quel : ln x × ln x s’écrit (ln x)².
Limites : ln x en 0 et croissances comparées
ln 0 n’existe pas : 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition. On parle en revanche de la limite de ln x quand x tend vers 0 par valeurs positives.
Croissances comparées : en +∞, exp(x) l’emporte sur xⁿ, et xⁿ l’emporte sur ln x, pour tout entier n ≥ 1.
| Expression | En quel point | Limite |
|---|---|---|
| exp(x) | −∞ | 0 |
| exp(x) | +∞ | +∞ |
| ln x | 0 par valeurs positives | −∞ |
| ln x | +∞ | +∞ |
| exp(x)/xⁿ, n entier positif | +∞ | +∞ |
| xⁿ × exp(x), n entier positif | −∞ | 0 |
| ln(x)/x | +∞ | 0 |
| x ln x | 0 par valeurs positives | 0 |
Résoudre une équation ou une inéquation
- Étape 1 : avec ln, écris d’abord le domaine de validité. Ce qui est dans le ln doit être strictement positif.
- Étape 2 : isole exp(…) ou ln(…).
- Étape 3 : applique la fonction réciproque. Comme ln et exp sont croissantes, le sens d’une inégalité est conservé.
- Étape 4 : compare avec le domaine et donne l’ensemble des solutions.
- Énoncé 1. Résoudre exp(2x − 1) = 5.
- 2x − 1 = ln 5, donc x = (1 + ln 5) ÷ 2 ≈ 1,30.
- Énoncé 2. Résoudre ln(x − 2) ≤ 1.
- Domaine : x − 2 > 0, soit x > 2. Puis x − 2 ≤ exp(1), soit x ≤ 2 + e.
- Ensemble des solutions : ]2 ; 2 + e].
- Énoncé 3, seuil de suite. Trouver le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ ≥ 2.
- n × ln(1,05) ≥ ln 2, et ln(1,05) > 0, donc n ≥ ln 2 ÷ ln(1,05) ≈ 14,2. Le plus petit entier est n = 15.
Astuce : Si la base est comprise entre 0 et 1, son ln est négatif : quand tu divises, l’inégalité change de sens. Ainsi 0,9ⁿ ≤ 0,1 donne n ≥ ln(0,1) ÷ ln(0,9) ≈ 21,9, soit n = 22.
Les erreurs à éviter
ln(a + b) = ln a + ln b ln(ab) = ln a + ln b
Le logarithme transforme un produit en somme, pas une somme en somme.
ln 0 = 0 ln 0 n’existe pas, et ln 1 = 0
La fonction ln n’est définie que pour x > 0.
exp(a) × exp(b) = exp(ab) exp(a) × exp(b) = exp(a + b)
Les exposants s’additionnent quand on multiplie.
ln(x) × ln(x) = ln(x²) ln(x²) = 2 ln x
ln(x²) vaut 2 ln x, alors que ln x × ln x vaut (ln x)². Ce sont deux expressions différentes.
Exercices corrigés
1. Combien vaut ln(e³) ?
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3. ln et exp sont réciproques : ln(exp(3)) = 3.
2. À quoi est égal exp(2) × exp(3) ?
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exp(5). exp(a) × exp(b) = exp(a + b), donc exp(2 + 3) = exp(5).
3. Quelle écriture est égale à ln 12 ?
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2 ln 2 + ln 3. 12 = 2² × 3, donc ln 12 = 2 ln 2 + ln 3.
4. Quelle est la solution de exp(x) = 7 ?
Voir la correction
x = ln 7. On applique ln des deux côtés : x = ln 7.
5. Quelle est la solution de ln x = 2 ?
Voir la correction
x = exp(2). On applique exp des deux côtés : x = exp(2), soit e².
6. Quelle est la limite de ln(x)/x quand x tend vers +∞ ?
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0. C’est une croissance comparée : x l’emporte sur ln x en +∞.
Questions fréquentes
Que vaut ln 0 ?
ln 0 n’existe pas. En revanche, quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln x tend vers −∞.
Que vaut ln a + ln b ?
ln a + ln b = ln(ab), pour a et b strictement positifs. C’est la propriété fondamentale du logarithme népérien.
Quelle est la dérivée de ln x et de exp(x) ?
La dérivée de ln x est 1/x sur ]0 ; +∞[. La fonction exp est égale à sa dérivée.
Pourquoi parle-t-on de croissance exponentielle ?
Une grandeur qui est multipliée par le même nombre, plus grand que 1, à intervalles réguliers croît de cette façon. Elle finit par dépasser toute croissance de type puissance.