Primitive et intégrale : tableau, formules et calculs

Qu’est-ce qu’une primitive ?

Une primitive de f sur un intervalle est une fonction F telle que F′ = f : chercher une primitive, c’est dériver à l’envers. Si F est une primitive de f, toutes les autres s’écrivent F + C, où C est une constante.

F est une primitive de f sur I si et seulement si F′(x) = f(x) pour tout x de I.

Astuce : Pour vérifier une primitive, dérive-la : tu dois retrouver exactement f. C’est le contrôle le plus sûr, et il prend une ligne.

Le tableau des primitives

Calculer une primitive d’une forme composée

La plupart des exercices demandent de reconnaître une forme u′ × … Il faut repérer u, puis ajuster la constante multiplicative si besoin.

• Étape 1 : repère la forme de l’expression.
• Étape 2 : écris u et calcule u′.
• Étape 3 : ajuste en multipliant et divisant par une constante.
• Étape 4 : écris la primitive, et vérifie en dérivant.

• Primitive exponentielle. f(x) = x × exp(x²). Avec u(x) = x², u′(x) = 2x. Alors f = 1/2 × u′ × exp(u), donc F(x) = 1/2 × exp(x²).
• Primitive avec ln. f(x) = 2x/(x² + 1). C’est u′/u avec u(x) = x² + 1 > 0, donc F(x) = ln(x² + 1).
• Primitive de sin(u). f(x) = sin(2x). On a f = 1/2 × 2 sin(2x), donc F(x) = −1/2 × cos(2x).

Comment calculer une intégrale

L’intégrale de f entre a et b se note ∫ de a à b de f(x) dx. Le « dx » indique la variable. Le calcul passe par une primitive, écrite entre crochets.

Si F est une primitive de f : ∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a).

• Linéarité : l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales, et les constantes sortent de l’intégrale.
• Relation de Chasles : ∫ de a à b + ∫ de b à c = ∫ de a à c.
• Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a ≤ b, alors l’intégrale est positive.
• Valeur moyenne : sur [a ; b], elle vaut 1/(b − a) × ∫ de a à b de f(x) dx.

• Énoncé. Soit f(x) = 2x + 1 sur [1 ; 3]. Calculer ∫ de 1 à 3 de (2x + 1) dx et interpréter le résultat.
• Une primitive de f est F(x) = x² + x.
• ∫ de 1 à 3 de (2x + 1) dx = F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.
• f est positive sur [1 ; 3] : l’aire sous la courbe, entre x = 1 et x = 3, vaut 10 unités d’aire.

Intégration par parties (IPP)

Quand l’intégrale contient un produit dont aucune forme composée ne convient, l’intégration par parties transforme le calcul. Choisis pour v′ une fonction facile à intégrer, et pour u une fonction qui se simplifie en dérivant.

∫ de a à b de u(x) v′(x) dx = [u(x) v(x)] de a à b − ∫ de a à b de u′(x) v(x) dx.

• Énoncé. Calculer ∫ de 0 à 1 de x exp(x) dx.
• On pose u(x) = x, donc u′(x) = 1, et v′(x) = exp(x), donc v(x) = exp(x).
• ∫ de 0 à 1 de x exp(x) dx = [x exp(x)] de 0 à 1 − ∫ de 0 à 1 de exp(x) dx.
• Cela donne e − [exp(x)] de 0 à 1 = e − (e − 1) = 1.

1. 1. Quelle fonction est une primitive de f(x) = 3x² ?

   6xx³3x³x²
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   x³. La dérivée de x³ est 3x². La réponse 6x est la dérivée de 3x², pas sa primitive.

2. 2. Quelle est une primitive de f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[ ?

   −1/x²exp(x)1/x²ln x
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   ln x. La dérivée de ln x est 1/x.

3. 3. Quelle est une primitive de f(x) = cos(2x) ?

   1/2 × sin(2x)sin(2x)−sin(2x)2 sin(2x)
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   1/2 × sin(2x). La dérivée de sin(2x) est 2 cos(2x). On divise donc par 2 : 1/2 × sin(2x).

4. 4. Combien vaut ∫ de 0 à 2 de 3x² dx ?

   61284
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   8. Une primitive est x³, donc 2³ − 0³ = 8.

5. 5. Combien vaut ∫ de 1 à e de 1/x dx ?

   01ee − 1
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   1. Une primitive est ln x, donc ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.

6. 6. Quelle est la primitive F de f(x) = 2x qui vérifie F(1) = 4 ?

   F(x) = x² + 4F(x) = x² + 3F(x) = 2x² + 2F(x) = x²
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   F(x) = x² + 3. F(x) = x² + C et F(1) = 1 + C = 4, donc C = 3.