L’essentiel
La dérivée de ln x est 1/x, pour x > 0. Celle de exp(x) est exp(x). Pour une fonction composée, ln(u) a pour dérivée u′/u et exp(u) a pour dérivée u′ × exp(u). Le signe de la dérivée donne le sens de variation : si f′ est positive, f est croissante.
Le tableau des dérivées usuelles
La dérivée de ln x vaut 1/x : c’est l’une des formules les plus utilisées au bac. Ce tableau regroupe les dérivées des fonctions de référence, à connaître par cœur.
| Fonction f(x) | Dérivée f′(x) | Valable pour |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | Tout réel |
| x | 1 | Tout réel |
| xⁿ, n entier non nul | n × xⁿ⁻¹ | Tout réel, x ≠ 0 si n < 0 |
| 1/x | −1/x² | x ≠ 0 |
| √x | 1/(2√x) | x > 0 |
| exp(x) | exp(x) | Tout réel |
| ln x | 1/x | x > 0 |
| sin x | cos x | Tout réel |
| cos x | −sin x | Tout réel |
Les formules d’opérations et de composition
Une fonction du bac combine presque toujours des fonctions de référence. Repère d’abord la forme de l’expression, puis écris u, v et leurs dérivées avant de calculer.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u′ + v′ |
| k × u | k × u′ |
| u × v | u′v + uv′ |
| u/v | (u′v − uv′)/v² |
| 1/v | −v′/v² |
| uⁿ | n × u′ × uⁿ⁻¹ |
| √u | u′/(2√u) |
| exp(u) | u′ × exp(u) |
| ln(u) | u′/u |
| f(ax + b) | a × f′(ax + b) |
- f(x) = ln(3x + 1) : u(x) = 3x + 1, u′(x) = 3, donc f′(x) = 3/(3x + 1).
- g(x) = exp(x²) : u(x) = x², u′(x) = 2x, donc g′(x) = 2x × exp(x²).
- h(x) = x² × ln x : u′v + uv′ = 2x × ln x + x² × 1/x = 2x ln x + x.
Étudier les variations : le signe de la dérivée
Sur un intervalle, si f′(x) ≥ 0, alors f est croissante. Si f′(x) ≤ 0, alors f est décroissante.
- Étape 1 : calcule f′(x).
- Étape 2 : factorise, puis étudie le signe de f′(x) dans un tableau de signes.
- Étape 3 : déduis les variations de f.
- Étape 4 : calcule les extremums, là où f′ s’annule en changeant de signe.
- Énoncé. Étudier les variations de f(x) = x³ − 3x + 1 sur l’ensemble des réels.
- f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
- Ce trinôme a pour racines −1 et 1, et il est positif à l’extérieur des racines, car son coefficient 3 est positif.
- f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
Tableau de signe de la dérivée et variations
L’étude de f(x) = x³ − 3x + 1 se résume dans un tableau : une ligne pour le signe de la dérivée, une ligne pour les variations. Au bac, ce tableau fait partie de la réponse attendue.
| Intervalle | ]−∞ ; −1[ | ]−1 ; 1[ | ]1 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| Signe de f′(x) | + | − | + |
| Variations de f | Croissante jusqu’à 3 | Décroissante jusqu’à −1 | Croissante |
Exemple de bac avec ln x
- Énoncé. Soit g(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[. Étudier le signe de g′ et trouver le minimum de g.
- g est un produit, avec u(x) = x et v(x) = ln x, donc g′(x) = 1 × ln x + x × 1/x = ln x + 1.
- ln x + 1 ≥ 0 équivaut à ln x ≥ −1, c’est-à-dire x ≥ exp(−1).
- g est donc décroissante sur ]0 ; exp(−1)] et croissante sur [exp(−1) ; +∞[.
- Son minimum est atteint en x = exp(−1) : g(exp(−1)) = exp(−1) × (−1) = −exp(−1), soit environ −0,37.
Lecture graphique de la dérivée
Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Sur un graphique, il se lit en mesurant la pente de cette tangente.
Tangente au point d’abscisse a : y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Pour f(x) = ln x en a = 1 : f(1) = 0 et f′(1) = 1, donc la tangente a pour équation y = x − 1.
Astuce : Une tangente horizontale signifie que f′(a) = 0 : c’est souvent, mais pas toujours, un maximum ou un minimum.
Les erreurs à éviter
(uv)′ = u′v′ (uv)′ = u′v + uv′
La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.
(exp(3x))′ = exp(3x) (exp(3x))′ = 3 exp(3x)
Il ne faut pas oublier de multiplier par u′, ici 3.
(ln(x² + 1))′ = 1/(x² + 1) (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1)
La formule est u′/u, et non 1/u.
(1/x)′ = ln x (1/x)′ = −1/x²
ln x est une primitive de 1/x, pas sa dérivée : il ne faut pas confondre les deux tableaux.
Exercices corrigés
1. Quelle est la dérivée de f(x) = 5x² − 3x + 7 ?
Voir la correction
10x − 3. La dérivée de 5x² est 10x, celle de −3x est −3, celle de 7 est 0.
2. Quelle est la dérivée de f(x) = ln x + x² sur ]0 ; +∞[ ?
Voir la correction
1/x + 2x. La dérivée de ln x est 1/x et celle de x² est 2x.
3. Quelle est la dérivée de f(x) = exp(3x) ?
Voir la correction
3 × exp(3x). Avec u(x) = 3x, on a u′(x) = 3, donc f′(x) = 3 × exp(3x).
4. Quelle est la dérivée de f(x) = ln(x² + 1) ?
Voir la correction
2x/(x² + 1). Avec u(x) = x² + 1, la formule u′/u donne 2x/(x² + 1).
5. Quelle est la dérivée de f(x) = x × exp(x) ?
Voir la correction
(x + 1) × exp(x). Avec un produit : 1 × exp(x) + x × exp(x) = (x + 1) × exp(x).
6. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d’abscisse 1 ?
Voir la correction
y = 2x − 1. f(1) = 1 et f′(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
Questions fréquentes
Quelle est la dérivée de ln x ?
La dérivée de ln x est 1/x, sur ]0 ; +∞[. Comme 1/x y est positif, la fonction ln est strictement croissante.
Quelle est la dérivée de ln(u) ?
La dérivée de ln(u) est u′/u, à condition que u soit dérivable et strictement positive.
Quelle est la dérivée de la fonction inverse ?
La fonction 1/x a pour dérivée −1/x², sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[.
Comment étudier le signe d’une fonction dérivée ?
Factorise f′(x) autant que possible, puis fais un tableau de signes. Une exponentielle est toujours positive, ce qui simplifie souvent l’étude.