L’essentiel
Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre r : uₙ₊₁ = uₙ + r, donc uₙ = u₀ + n × r. Une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre q : uₙ₊₁ = q × uₙ, donc uₙ = u₀ × qⁿ. Pour reconnaître la nature d’une suite, on étudie la différence ou le quotient de deux termes consécutifs.
Suite arithmétique et suite géométrique : les formules
Une suite numérique est une liste de nombres numérotés : u₀, u₁, u₂… Une suite arithmétique progresse par additions, une suite géométrique par multiplications. Ces deux modèles couvrent la plupart des exercices de première.
Somme d’une suite arithmétique : nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2. À retenir : 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) ÷ 2.
| Suite arithmétique de raison r | Suite géométrique de raison q | |
|---|---|---|
| Relation de récurrence | uₙ₊₁ = uₙ + r | uₙ₊₁ = q × uₙ |
| Terme général depuis u₀ | uₙ = u₀ + n × r | uₙ = u₀ × qⁿ |
| Terme général depuis u₁ | uₙ = u₁ + (n − 1) × r | uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ |
| Entre deux rangs | uₙ = uₚ + (n − p) × r | uₙ = uₚ × qⁿ⁻ᵖ |
| Somme | nombre de termes × (premier + dernier) ÷ 2 | premier × (1 − q^nombre de termes) ÷ (1 − q), si q ≠ 1 |
- Arithmétique. u₀ = 5 et r = 3. Alors u₂₀ = 5 + 20 × 3 = 65.
- De u₀ à u₂₀, il y a 21 termes : somme = 21 × (5 + 65) ÷ 2 = 735.
- Géométrique. v₀ = 2 et q = 3. Alors v₅ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
- De v₀ à v₅, il y a 6 termes : somme = 2 × (1 − 3⁶) ÷ (1 − 3) = 2 × (−728) ÷ (−2) = 728.
Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique
Trois termes qui semblent suivre une règle ne prouvent rien. Pour une preuve, il faut un calcul valable pour tout entier n.
- Pour une suite arithmétique : calcule uₙ₊₁ − uₙ. Si le résultat est une constante r, la suite est arithmétique de raison r.
- Pour une suite géométrique : calcule uₙ₊₁ ÷ uₙ, si les termes ne s’annulent pas, ou écris uₙ₊₁ sous la forme q × uₙ.
- Pour montrer qu’une suite n’est ni l’une ni l’autre : calcule trois termes et montre que les différences et les quotients ne sont pas égaux.
- Pour conjecturer le comportement : calcule les premiers termes, à la main ou au tableur, puis observe.
- Exemple. uₙ = 4n − 7. Alors uₙ₊₁ − uₙ = 4(n + 1) − 7 − (4n − 7) = 4. La suite est arithmétique de raison 4.
Montrer qu’une suite est géométrique : la rédaction au bac
C’est un exercice classique du bac. On part d’une suite u et d’une suite auxiliaire v, définie par exemple par vₙ = uₙ − 6.
- Énoncé. u₀ = 7 et uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3. Pour tout n, on pose vₙ = uₙ − 6. Montrer que v est géométrique, puis donner uₙ en fonction de n et la limite de u.
- Pour tout entier n : vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − 6 = 0,5uₙ + 3 − 6 = 0,5uₙ − 3.
- On factorise : vₙ₊₁ = 0,5(uₙ − 6) = 0,5vₙ.
- Donc v est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v₀ = u₀ − 6 = 1.
- On en déduit vₙ = 1 × 0,5ⁿ = 0,5ⁿ, puis uₙ = vₙ + 6 = 0,5ⁿ + 6.
- Comme −1 < 0,5 < 1, 0,5ⁿ tend vers 0. Donc u converge vers 6.
Sens de variation d’une suite
Une suite est croissante si uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ, et monotone si elle est l’une ou l’autre. La méthode générale consiste à étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ.
| Suite | Condition | Sens de variation |
|---|---|---|
| Arithmétique | r > 0 | Croissante |
| Arithmétique | r < 0 | Décroissante |
| Géométrique, u₀ > 0 | q > 1 | Croissante |
| Géométrique, u₀ > 0 | 0 < q < 1 | Décroissante |
| Géométrique, u₀ < 0 | q > 1 | Décroissante |
| Géométrique, u₀ < 0 | 0 < q < 1 | Croissante |
| Géométrique, u₀ ≠ 0 | q < 0 | Non monotone : les signes alternent |
Limite d’une suite
Si q > 1, qⁿ tend vers +∞. Si −1 < q < 1, qⁿ tend vers 0. Si q ≤ −1, qⁿ n’a pas de limite.
- Une suite arithmétique tend vers +∞ si r > 0, vers −∞ si r < 0.
- Une suite qui a une limite finie est dite convergente, une autre est dite divergente.
- Une suite croissante et majorée converge, tout comme une suite décroissante et minorée.
Astuce : Dans un exercice avec un seuil, cherche le premier rang n tel que qⁿ dépasse une valeur : la fonction ln permet de le trouver par le calcul.
Les erreurs à éviter
De u₀ à u₂₀, il y a 20 termes Il y a 21 termes
Le terme u₀ compte. De uₚ à uₙ, il y a n − p + 1 termes.
uₙ = u₀ × q × n uₙ = u₀ × qⁿ
Dans une suite géométrique, n est un exposant : on multiplie n fois par q.
Calculer u₁ − u₀ et u₂ − u₁, puis conclure que la suite est arithmétique Calculer uₙ₊₁ − uₙ pour tout n
Deux différences égales ne prouvent rien pour la suite entière. Elles peuvent seulement prouver le contraire si elles diffèrent.
Exercices corrigés
1. Quelle est la nature de la suite 4, 7, 10, 13… si le motif se poursuit ?
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Arithmétique de raison 3. On ajoute 3 à chaque terme : la suite est arithmétique de raison 3.
2. u est arithmétique avec u₀ = 2 et r = 5. Combien vaut u₁₀ ?
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52. u₁₀ = 2 + 10 × 5 = 52.
3. v est géométrique avec v₀ = 3 et q = 2. Combien vaut v₄ ?
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48. v₄ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48.
4. Combien vaut la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
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5 050. 100 × 101 ÷ 2 = 5 050.
5. Quelle est la limite de la suite uₙ = 0,8ⁿ ?
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0. Comme −1 < 0,8 < 1, la suite 0,8ⁿ tend vers 0.
6. Combien vaut la somme 1 + 2 + 4 + 8 + … + 512 ?
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1 023. C’est une suite géométrique de raison 2. 512 = 2⁹, donc il y a 10 termes : somme = 1 × (1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 1 023.
Questions fréquentes
Comment savoir si une suite est arithmétique ?
Calcule uₙ₊₁ − uₙ pour tout n. Si le résultat ne dépend pas de n, la suite est arithmétique et ce résultat est sa raison.
Comment savoir si une suite est géométrique ?
Montre que uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n, avec q constant. Si les termes ne s’annulent pas, cela revient à montrer que le quotient uₙ₊₁ ÷ uₙ est constant.
Comment conjecturer le comportement d’une suite ?
Calcule plusieurs termes avec la calculatrice ou un tableur, puis observe s’ils montent, descendent ou se rapprochent d’une valeur. Une conjecture doit ensuite être démontrée.