L’essentiel
La loi binomiale B(n ; p) donne le nombre de succès X obtenus en répétant n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues dont le succès a la probabilité p. On a P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, et son espérance vaut E(X) = np.
Quand utiliser la loi binomiale
La loi binomiale s’applique à un schéma de Bernoulli : on répète une épreuve qui n’a que deux issues, le succès et l’échec. La variable X compte le nombre de succès.
X suit la loi binomiale B(n ; p) si on répète n épreuves identiques et indépendantes, à deux issues, et si X compte les succès, de probabilité p à chaque épreuve.
- Deux issues seulement : pile ou face, réponse juste ou fausse, pièce conforme ou non.
- La même probabilité p à chaque épreuve.
- Des épreuves indépendantes : un tirage avec remise convient, pas un tirage sans remise.
- Un nombre n d’épreuves fixé à l’avance.
La formule de la loi binomiale
Chaque facteur a un sens. pᵏ correspond aux k succès, (1 − p)ⁿ⁻ᵏ aux n − k échecs, et C(n, k) au nombre de chemins de l’arbre qui contiennent exactement k succès.
C(n, k) se lit « k parmi n ». Sur ta copie, écris-le entre parenthèses, avec n au-dessus de k. Il se calcule avec la formule n! ÷ (k! × (n − k)!), où n! = 1 × 2 × … × n.
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, pour k entier de 0 à n.
| Coefficient | Valeur | Exemple |
|---|---|---|
| C(n, 0) et C(n, n) | 1 | C(5, 0) = 1 |
| C(n, 1) | n | C(5, 1) = 5 |
| C(n, k) = C(n, n − k) | Symétrie | C(5, 3) = C(5, 2) |
| C(5, 2) | 5 × 4 ÷ 2 = 10 | 10 chemins à 2 succès |
| C(10, 3) | 10 × 9 × 8 ÷ 6 = 120 | 120 chemins à 3 succès |
Exemple résolu pas à pas
Un QCM compte 5 questions indépendantes, avec 4 réponses par question, dont une seule est juste. Tu réponds au hasard. X est le nombre de bonnes réponses.
- Étape 1 : justifie la loi. On répète 5 fois la même épreuve à deux issues, de façon indépendante, avec p = 1/4 = 0,25. Donc X suit B(5 ; 0,25).
- Étape 2 : calcule P(X = 2). P(X = 2) = C(5, 2) × 0,25² × 0,75³ = 10 × 0,0625 × 0,421875 ≈ 0,264.
- Étape 3 : calcule P(X = 0). P(X = 0) = 0,75⁵ ≈ 0,237.
- Étape 4 : pour « au moins une bonne réponse », passe par le contraire. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) ≈ 0,763.
- Étape 5 : calcule l’espérance. E(X) = 5 × 0,25 = 1,25. En moyenne, on obtient 1,25 bonne réponse par QCM.
Espérance, variance et écart type
L’espérance est la moyenne du nombre de succès sur un très grand nombre de répétitions de l’expérience. L’écart type mesure la dispersion autour de cette moyenne.
E(X) = np ; V(X) = np(1 − p) ; σ(X) = √(np(1 − p))
- Si X suit B(20 ; 0,1) : E(X) = 20 × 0,1 = 2.
- V(X) = 20 × 0,1 × 0,9 = 1,8.
- σ(X) = √1,8 ≈ 1,34.
Calculer P(X ≤ k) et P(X ≥ k)
Pour les calculs cumulés, utilise la calculatrice : dans le menu des probabilités ou des distributions, la fonction de densité donne P(X = k) et la fonction cumulée donne P(X ≤ k). Ramène chaque question à l’une de ces deux formes.
| Tu cherches | Tu calcules |
|---|---|
| P(X < k) | P(X ≤ k − 1) |
| P(X > k) | 1 − P(X ≤ k) |
| P(X ≥ k) | 1 − P(X ≤ k − 1) |
| P(a ≤ X ≤ b) | P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1) |
- Si X suit B(10 ; 0,3) : P(X ≤ 2) ≈ 0,383, donc P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) ≈ 0,617.
Les erreurs à éviter
Tirage sans remise : X suit une loi binomiale Les tirages ne sont pas indépendants, la loi n’est pas binomiale
La probabilité change après chaque tirage. Il faut un tirage avec remise, ou une population assez grande pour assimiler le tirage à un tirage avec remise.
P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 3) P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2)
Le contraire de « au moins 3 » est « au plus 2 ».
P(X = 2) = 0,25² × 0,75³ P(X = 2) = C(5, 2) × 0,25² × 0,75³
Ce produit ne compte qu’un seul chemin. Il faut multiplier par le nombre de chemins.
Exercices corrigés
1. Quelle variable suit une loi binomiale ?
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Le nombre de piles sur 10 lancers d’une pièce. Les 10 lancers sont indépendants, ont deux issues et un nombre fixé à l’avance. Les autres cas ne respectent pas ces conditions.
2. X suit B(8 ; 0,25). Combien vaut E(X) ?
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2. E(X) = 8 × 0,25 = 2. La valeur 1,5 est la variance.
3. Combien vaut C(6, 2) ?
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15. C(6, 2) = 6 × 5 ÷ 2 = 15.
4. X suit B(3 ; 0,5). Combien vaut P(X = 2) ?
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0,375. C(3, 2) × 0,5² × 0,5 = 3 × 0,125 = 0,375.
5. X suit B(4 ; 0,2). Combien vaut P(X = 0) ?
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0,4096. P(X = 0) = 0,8⁴ = 0,4096.
6. X suit B(4 ; 0,2). Combien vaut P(X ≥ 1) ?
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0,5904. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,4096 = 0,5904.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre loi de Bernoulli et loi binomiale ?
La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve à deux issues. La loi binomiale compte les succès sur n épreuves de ce type, répétées de façon indépendante.
Que signifie « k parmi n » ?
C’est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n. Pour la loi binomiale, c’est le nombre de chemins de l’arbre qui comportent exactement k succès.
Peut-on utiliser la loi binomiale pour un sondage sans remise ?
Oui, quand la population est très grande devant l’échantillon : l’énoncé précise alors qu’on assimile le tirage à un tirage avec remise.