Puissances en maths : définition et propriétés

Définition d’une puissance

La définition d’une puissance tient en une idée : au lieu d’écrire une longue multiplication du même nombre, on note combien de fois il apparaît. Dans aⁿ, a est la base et n l’exposant.

aⁿ = a × a × … × a, avec n facteurs égaux à a. Si a ≠ 0 : a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Les propriétés des puissances

Ces règles s’appliquent aux produits et aux quotients. Elles demandent la même base, ou le même exposant pour les deux dernières.

Même base : on additionne les exposants dans un produit et on les soustrait dans un quotient.

• Exemple résolu : écris A = 2⁵ × 2³ ÷ 2⁴ avec une seule puissance.
• Étape 1 : le produit donne 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸.
• Étape 2 : le quotient donne 2⁸ ÷ 2⁴ = 2⁸⁻⁴ = 2⁴.
• Étape 3 : A = 2⁴ = 16. Vérification : 32 × 8 ÷ 16 = 16.

Le signe d’une puissance et les parenthèses

Un nombre négatif élevé à un exposant pair donne un résultat positif. Élevé à un exposant impair, il donne un résultat négatif.

Les parenthèses changent tout : dans (−3)², le signe fait partie de la base. Dans −3², seul 3 est au carré, et on prend ensuite l’opposé.

• (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
• −3² = −(3 × 3) = −9.
• (−2)⁴ = 16 et (−2)⁵ = −32.

Astuce : La puissance se calcule avant la multiplication : 2 × 3² = 2 × 9 = 18, et non 6² = 36.

Les puissances de 10 et l’écriture scientifique

L’exposant de 10 indique le nombre de zéros, ou le rang de la virgule : 10³ = 1 000 et 10⁻³ = 0,001. Ces puissances servent à écrire les très grands et les très petits nombres.

Écriture scientifique : a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier.

• 45 000 = 4,5 × 10⁴ : la virgule se déplace de 4 rangs vers la gauche.
• 0,0032 = 3,2 × 10⁻³ : la virgule se déplace de 3 rangs vers la droite.
• La vitesse de la lumière vaut environ 300 000 000 m/s, soit 3 × 10⁸ m/s.

Astuce : Sur la calculatrice, utilise la touche ^ et mets les nombres négatifs entre parenthèses : (-2)^4 donne 16, alors que -2^4 donne −16.

1. 1. Combien vaut 2⁵ ?

   10253264
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   32. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

2. 2. Combien vaut (−2)³ ?

   −88−66
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   −8. L’exposant 3 est impair : (−2) × (−2) × (−2) = −8.

3. 3. Écris 5⁷ × 5² avec une seule puissance.

   5¹⁴5⁹25⁹5⁵
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   5⁹. Même base : on additionne les exposants, 7 + 2 = 9.

4. 4. Combien vaut 10⁻⁴ ?

   −10 0000,0010,0001−40
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   0,0001. 10⁻⁴ = 1/10⁴ = 1/10 000 = 0,0001.

5. 5. Quelle est l’écriture scientifique de 0,00056 ?

   56 × 10⁻⁵5,6 × 10⁻⁴5,6 × 10⁴0,56 × 10⁻³
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   5,6 × 10⁻⁴. Le nombre devant la puissance doit être compris entre 1 et 10. 56 × 10⁻⁵ et 0,56 × 10⁻³ sont égaux à 0,00056, mais pas en écriture scientifique.

6. 6. Calcule (3⁴ × 3²) ÷ 3³.

   98124327
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   27. 3⁴ × 3² = 3⁶, puis 3⁶ ÷ 3³ = 3³ = 27.