Probabilités : formules, arbres et probabilité conditionnelle

Les formules de base en probabilités

Les probabilités mesurent la chance qu’un événement se produise lors d’une expérience aléatoire. Une issue est un résultat possible, et un événement est un ensemble d’issues.

Si les issues sont équiprobables : P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.

• Avec un dé équilibré à 6 faces, « obtenir un multiple de 3 » regroupe 3 et 6 : P = 2/6 = 1/3.
• Un sac contient 5 boules rouges, 3 bleues et 2 vertes : P(bleue) = 3/10 = 0,3.

Calculer avec un arbre pondéré

Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d’un chemin et on additionne les chemins qui réalisent l’événement.

• Exemple résolu : une urne contient 3 boules rouges et 2 noires. On tire 2 boules, sans remise.
• Étape 1 : au premier tirage, P(rouge) = 3/5 et P(noire) = 2/5.
• Étape 2 : il reste 4 boules. Après une rouge, P(rouge) = 2/4. Après une noire, P(rouge) = 3/4.
• Étape 3 : P(deux rouges) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
• Étape 4 : P(couleurs différentes) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 6/20 + 6/20 = 3/5.
• Contrôle : P(deux noires) = 2/5 × 1/4 = 1/10, et 3/10 + 3/5 + 1/10 = 1.

Probabilité conditionnelle : la formule

P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A ». On sait que A est réalisé, et on calcule la probabilité de B parmi les seuls cas de A.

P_A(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A), avec P(A) ≠ 0.

• Dans un lycée de 200 élèves, 120 sont demi-pensionnaires, et 48 d’entre eux font du sport. A : « demi-pensionnaire ». B : « fait du sport ».
• P(A) = 120/200 = 0,6 et P(A ∩ B) = 48/200 = 0,24.
• P_A(B) = 0,24 ÷ 0,6 = 0,4 : parmi les demi-pensionnaires, 40 % font du sport.

La formule des probabilités totales

Si A et Ā partagent l’univers : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B).

• Une usine a deux machines. La première fait 70 % des pièces, dont 2 % sont défectueuses. La seconde fait les autres pièces, dont 5 % sont défectueuses. A : « la pièce vient de la première machine ». D : « la pièce est défectueuse ».
• P(D) = 0,7 × 0,02 + 0,3 × 0,05 = 0,014 + 0,015 = 0,029.
• Sachant qu’une pièce est défectueuse, la probabilité qu’elle vienne de la première machine vaut 0,014 ÷ 0,029 ≈ 0,483.

Espérance d’une variable aléatoire

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue, par exemple un gain. Son espérance est la valeur moyenne qu’on obtiendrait sur un très grand nombre de parties.

E(X) = x₁ × p₁ + x₂ × p₂ + … + xₙ × pₙ

• E(X) = 9 × 1/6 + 1 × 2/6 − 3 × 3/6 = (9 + 2 − 9)/6 = 1/3 ≈ 0,33. L’espérance est positive, donc le jeu est favorable au joueur.

1. 1. On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

   1/61/31/22/3
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   1/2. Il y a 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6.

2. 2. P(A) = 0,35. Combien vaut P(Ā) ?

   0,350,651,350
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   0,65. P(Ā) = 1 − 0,35 = 0,65.

3. 3. Un sac contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une autre. Quelle est la probabilité d’avoir deux rouges ?

   0,160,80,40,13
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   0,16. Avec remise, les tirages sont indépendants : 0,4 × 0,4 = 0,16.

4. 4. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1. Combien vaut P(A ∪ B) ?

   0,910,80,2
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   0,8. 0,5 + 0,4 − 0,1 = 0,8.

5. 5. P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1. Combien vaut P_A(B) ?

   0,040,250,54
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   0,25. 0,1 ÷ 0,4 = 0,25.

6. 6. P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,5 et P_Ā(B) = 0,2. Combien vaut P(B) ?

   0,70,30,350,38
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   0,38. 0,6 × 0,5 + 0,4 × 0,2 = 0,3 + 0,08 = 0,38.