L’essentiel
Une fraction irréductible est une fraction qu’on ne peut plus simplifier : son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Pour l’obtenir, divise-les tous les deux par leur PGCD. Par exemple, 28/42 = 2/3, car PGCD(28 ; 42) = 14.
Simplifier une fraction
PGCD(18 ; 24) = 6, on divise le numérateur et le dénominateur par 6.
18/24 = 3/4 ≈ 0,75
Rendre une fraction irréductible
Une fraction irréductible est la forme la plus simple d’une fraction : c’est celle qu’on attend comme résultat final. Dans a/b, a est le numérateur et b le dénominateur, qui n’est jamais égal à 0.
Une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
- Étape 1 : cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (2, 3, 5, 9…).
- Étape 2 : divise les deux nombres par ce diviseur.
- Étape 3 : recommence jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de diviseur commun. Avec le PGCD, une seule division suffit.
- Par étapes : 60/84 = 30/42 = 15/21 = 5/7.
- Avec le PGCD : PGCD(28 ; 42) = 14, donc 28/42 = (28 ÷ 14)/(42 ÷ 14) = 2/3.
Comparer des fractions
Pour comparer deux fractions, mets-les au même dénominateur, puis compare les numérateurs.
- Même dénominateur : 3/7 < 5/7, car 3 < 5.
- Même numérateur : 2/5 > 2/9. Plus il y a de parts, plus chaque part est petite.
- Dénominateurs différents : 3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12, donc 3/4 < 5/6.
- Comparaison à 1 : 7/8 < 1 < 9/8. Une fraction est plus grande que 1 quand son numérateur dépasse son dénominateur.
Addition de fractions et soustraction
On n’additionne ou on ne soustrait que des fractions de même dénominateur. Si les dénominateurs diffèrent, cherche d’abord un dénominateur commun, de préférence le plus petit multiple commun.
a/c + b/c = (a + b)/c et a/c − b/c = (a − b)/c : le dénominateur ne change pas.
- 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
- 5/6 − 3/8 = 20/24 − 9/24 = 11/24.
Multiplier et diviser une fraction
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Multiplier | (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d) | (2/3) × (5/7) = 10/21 |
| Diviser | (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) | (3/4) ÷ (5/2) = (3/4) × (2/5) = 6/20 = 3/10 |
| Fraction d’un nombre | (a/b) de n = n ÷ b × a | 3/5 de 40 = 40 ÷ 5 × 3 = 24 |
Fraction décimale et décomposer une fraction
Une fraction décimale a pour dénominateur 10, 100, 1 000… : 3/10 = 0,3 et 125/100 = 1,25 = 1 + 2/10 + 5/100.
Décomposer une fraction, c’est faire apparaître sa partie entière. Pour 17/4 : dans 17, il y a 4 fois 4, et il reste 1. Donc 17/4 = 16/4 + 1/4 = 4 + 1/4.
Cette décomposition donne un encadrement, 4 < 17/4 < 5, et aide à placer des fractions sur une droite graduée : partage chaque unité en 4 parts égales et compte 17 parts à partir de 0.
Vérifier avec le calculateur de fractions
Le calculateur simplifie une fraction et indique le PGCD. Saisis 28 dans « Numérateur » et 42 dans « Dénominateur » : il affiche PGCD(28 ; 42) = 14, puis 28/42 = 2/3 ≈ 0,6667.
Pour contrôler une somme, fais le calcul à la main et saisis ton résultat brut : 5/6 + 1/10 = 25/30 + 3/30 = 28/30. Le calculateur donne alors la fraction irréductible 14/15.
Les erreurs à éviter
1/2 + 1/3 = 2/5 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
On n’additionne jamais les dénominateurs : il faut d’abord les rendre égaux.
(3 + 5)/(3 + 7) = 5/7 (3 + 5)/(3 + 7) = 8/10 = 4/5
On ne simplifie que les facteurs d’un produit, jamais les termes d’une somme.
(3/4) ÷ 2 = 6/4 (3/4) ÷ 2 = (3/4) × (1/2) = 3/8
Diviser par 2, c’est multiplier par 1/2 : le résultat doit être plus petit que 3/4.
Exercices corrigés
1. Quelle est la fraction irréductible égale à 24/36 ?
Voir la correction
2/3. PGCD(24 ; 36) = 12, donc 24/36 = 2/3. Les fractions 12/18 et 4/6 sont égales à 2/3, mais pas irréductibles.
2. Compare 5/8 et 7/12.
Voir la correction
5/8 > 7/12. Au dénominateur 24 : 5/8 = 15/24 et 7/12 = 14/24.
3. Combien font 3/5 + 1/10 ?
Voir la correction
7/10. 3/5 = 6/10, donc 6/10 + 1/10 = 7/10.
4. Combien font 7/6 − 3/4 ?
Voir la correction
5/12. 7/6 = 14/12 et 3/4 = 9/12, donc 14/12 − 9/12 = 5/12.
5. Combien font (4/9) × (3/8) ?
Voir la correction
1/6. (4 × 3)/(9 × 8) = 12/72 = 1/6.
6. Combien font (2/3) ÷ (4/5) ?
Voir la correction
5/6. (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6. Le résultat 8/15 correspond à une multiplication, pas à une division.
Questions fréquentes
Comment simplifier une fraction en 6e ?
Utilise les critères de divisibilité par 2, 3, 5 ou 9, et divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Par exemple, 45/60 = 9/12 = 3/4 en divisant par 5, puis par 3.
Comment comparer des fractions ?
Mets-les au même dénominateur, puis compare les numérateurs. Tu peux aussi comparer chaque fraction à 1 ou à 1/2 pour aller plus vite.
Comment décomposer une fraction ?
Fais la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : le quotient donne la partie entière, et le reste reste sur le dénominateur. Ainsi, 23/5 = 4 + 3/5.
Une fraction peut-elle avoir 0 au dénominateur ?
Non : on ne peut pas diviser par 0. En revanche, un numérateur égal à 0 donne une fraction qui vaut 0.