L’essentiel
Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux solutions : (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a). Si Δ = 0, il y en a une seule : −b/(2a). Si Δ < 0, il n’y a aucune solution réelle.
Résoudre une équation du second degré
Équation de la forme ax² + bx + c = 0
Δ = b² − 4ac = (-3)² − 4 × 1 × 2 = 1
Δ > 0 : deux solutions, x₁ = 1 et x₂ = 2.
Résoudre une équation du second degré avec delta
Une équation du second degré contient un terme en x² et se ramène à ax² + bx + c = 0. Le discriminant, noté Δ (delta), indique combien elle a de solutions. Ces solutions s’appellent aussi les racines du polynôme ax² + bx + c.
Δ = b² − 4ac, puis x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) si Δ > 0.
| Signe de Δ | Solutions réelles | Forme factorisée de ax² + bx + c |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux : x₁ et x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) |
| Δ = 0 | Une : x₀ = −b/(2a) | a(x − x₀)² |
| Δ < 0 | Aucune | Pas de factorisation dans R |
Trois exemples résolus
- Résous 2x² − 5x − 3 = 0.
- Étape 1 : identifie les coefficients, avec leur signe. a = 2, b = −5, c = −3.
- Étape 2 : calcule Δ. Δ = (−5)² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49.
- Étape 3 : Δ > 0 et √49 = 7, donc il y a deux solutions.
- Étape 4 : x₁ = (5 − 7)/4 = −1/2 et x₂ = (5 + 7)/4 = 3.
- x² − 6x + 9 = 0 : Δ = 36 − 36 = 0, donc une seule solution, x₀ = 6/2 = 3.
- x² + x + 1 = 0 : Δ = 1 − 4 = −3 < 0, donc aucune solution réelle.
Astuce : Sans terme constant, factorise plutôt : 3x² − 12x = 0 s’écrit 3x(x − 4) = 0, donc x = 0 ou x = 4.
Vérifier avec le calculateur
Mets d’abord ton équation sous la forme ax² + bx + c = 0, puis saisis a, b et c, avec le signe moins du clavier pour les valeurs négatives. Pour 2x² − 5x − 3 = 0, saisis 2, -5 et -3. Le calculateur affiche Δ = 49, puis x₁ = −0,5 et x₂ = 3.
Il donne des valeurs décimales arrondies à 4 chiffres après la virgule. Pour x² − 2x − 1 = 0, il affiche −0,4142 et 2,4142, alors que les valeurs exactes sont 1 − √2 et 1 + √2 : sur ta copie, garde la forme exacte.
Polynôme du second degré et forme canonique
La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c est représentée par une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Sa forme canonique fait apparaître le sommet de la parabole.
f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α) = −Δ/(4a). Le sommet est le point S(α ; β).
- f(x) = 2x² − 8x + 3 : α = 8/4 = 2 et β = f(2) = 8 − 16 + 3 = −5, donc f(x) = 2(x − 2)² − 5.
- Le sommet est S(2 ; −5). Comme a > 0, la fonction admet un minimum égal à −5, atteint en x = 2.
- Quand Δ > 0, on a aussi x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.
Le signe d’un trinôme du second degré
Le trinôme est du signe de a, sauf entre ses racines quand il en a deux.
- Exemple résolu : résous x² − x − 6 ≤ 0.
- Étape 1 : calcule les racines. Δ = 1 + 24 = 25, x₁ = (1 − 5)/2 = −2 et x₂ = (1 + 5)/2 = 3.
- Étape 2 : a = 1 est positif, donc le trinôme est négatif entre les racines.
- Étape 3 : l’ensemble des solutions est l’intervalle [−2 ; 3].
Les erreurs à éviter
x² − 5x + 6 = 0 : b = 5 b = −5
Le signe fait partie du coefficient.
Avec b = −3 : b² = −9 b² = (−3)² = 9
Mets toujours b entre parenthèses : un carré n’est jamais négatif.
x = (−b ± √Δ)/2 x = (−b ± √Δ)/(2a)
Le dénominateur est 2a. L’erreur ne se voit pas quand a = 1, d’où le piège.
Exercices corrigés
1. Combien vaut Δ pour x² + 3x − 4 = 0 ?
Voir la correction
25. Δ = 3² − 4 × 1 × (−4) = 9 + 16 = 25.
2. Combien l’équation x² − 4x + 4 = 0 a-t-elle de solutions ?
Voir la correction
Une seule. Δ = 16 − 16 = 0 : la seule solution est x = 2.
3. Quelles sont les solutions de x² − 7x + 10 = 0 ?
Voir la correction
2 et 5. Δ = 49 − 40 = 9, donc x = (7 − 3)/2 = 2 ou x = (7 + 3)/2 = 5.
4. Que peux-tu dire de 2x² + 3x + 5 = 0 ?
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Elle n’a aucune solution réelle. Δ = 9 − 40 = −31, qui est négatif.
5. Quelle est la forme canonique de x² + 6x + 2 ?
Voir la correction
(x + 3)² − 7. α = −3 et β = 9 − 18 + 2 = −7. Vérification : (x + 3)² − 7 = x² + 6x + 9 − 7.
6. Résous x² − 2x − 3 < 0.
Voir la correction
−1 < x < 3. Δ = 16, les racines sont −1 et 3. Comme a > 0, le trinôme est négatif entre les racines.
Questions fréquentes
Peut-on résoudre sans le discriminant ?
Oui, si l’équation se factorise facilement. Quand b = 0 ou c = 0, ou qu’une identité remarquable apparaît, la factorisation est souvent plus rapide.
Que se passe-t-il si a = 0 ?
Le terme en x² disparaît : ce n’est plus une équation du second degré, mais une équation du premier degré.
Comment trouver bêta dans la forme canonique ?
Calcule d’abord α = −b/(2a), puis β = f(α). La formule β = −Δ/(4a) donne le même résultat.
Quelle différence entre racine et solution ?
Une solution se rapporte à une équation, une racine à un polynôme. Les racines de ax² + bx + c sont les solutions de ax² + bx + c = 0.