L’essentiel
La demi-vie d’un noyau radioactif, notée t½, est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d’un échantillon se sont désintégrés. Après n demi-vies, il reste N₀ ÷ 2ⁿ noyaux. Elle est liée à la constante radioactive λ par t½ = ln 2 ÷ λ. Elle vaut 5 730 ans pour le carbone 14.
Demi-vie : la définition
La demi-vie se mesure sur un grand nombre de noyaux. On ne peut pas dire quand un noyau précis se désintègre, mais on connaît très bien le comportement de l’ensemble.
Elle ne dépend que du noyau : ni la température, ni la pression, ni la forme chimique ne la changent en pratique.
Après n demi-vies, il reste N₀ ÷ 2ⁿ noyaux.
| Durée écoulée | Fraction restante | Pourcentage restant |
|---|---|---|
| 1 t½ | 1/2 | 50 % |
| 2 t½ | 1/4 | 25 % |
| 3 t½ | 1/8 | 12,5 % |
| 4 t½ | 1/16 | 6,25 % |
| 10 t½ | 1/1 024 | Environ 0,1 % |
Des exemples de demi-vie
| Noyau | Demi-vie | Usage ou présence |
|---|---|---|
| Technétium 99m | 6,0 heures | Imagerie médicale |
| Radon 222 | 3,8 jours | Gaz naturel issu des roches |
| Iode 131 | 8,0 jours | Médecine, rejets d’accidents nucléaires |
| Cobalt 60 | 5,3 ans | Radiothérapie, stérilisation |
| Césium 137 | 30 ans | Retombées d’accidents nucléaires |
| Carbone 14 | 5 730 ans | Datation |
| Uranium 238 | 4,5 milliards d’années | Roches, datation géologique |
La loi de décroissance radioactive
En terminale, le nombre de noyaux N vérifie dN/dt = -λ × N. La solution est une fonction exponentielle décroissante. L’activité A, en becquerels, suit la même loi.
N(t) = N₀ × exp(-λt), A(t) = A₀ × exp(-λt), A = λ × N et t½ = ln 2 ÷ λ.
- Pour le carbone 14 : λ = ln 2 ÷ 5 730 ≈ 1,21 × 10⁻⁴ an⁻¹.
- Pour l’iode 131 : λ = ln 2 ÷ 8,02 ≈ 0,0864 jour⁻¹.
Astuce : Exprime t, t½ et λ avec la même unité de temps. Si λ est en s⁻¹, t doit être en secondes.
La méthode pour dater avec le carbone 14
Un être vivant échange du carbone avec son milieu : sa proportion de carbone 14 reste stable. À sa mort, ces échanges s’arrêtent et le carbone 14 décroît.
- Étape 1 : compare l’activité de l’échantillon à celle d’un échantillon vivant, soit le rapport A ÷ A₀.
- Étape 2 : écris A ÷ A₀ = exp(-λt).
- Étape 3 : isole t avec le logarithme : t = -ln(A ÷ A₀) ÷ λ.
- Un morceau de bois a gardé 70 % de son activité : t = -ln(0,70) ÷ (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 2 950 ans.
Astuce : Cette méthode ne convient pas au-delà d’environ 50 000 ans, car il reste trop peu de carbone 14 pour le mesurer.
Les erreurs à éviter
Après deux demi-vies, il ne reste plus rien. Après deux demi-vies, il reste un quart des noyaux.
La décroissance n’est pas linéaire : chaque demi-vie divise ce qu’il reste par deux.
La demi-vie est la moitié de la durée de vie d’un noyau. C’est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux sont désintégrés.
Un noyau pris seul n’a pas de durée de vie fixe.
Chauffer un échantillon raccourcit sa demi-vie. La demi-vie ne dépend pas de la température.
La désintégration se passe dans le noyau, insensible à ces conditions.
Exercices corrigés
1. Quelle fraction d’un échantillon reste-t-il après 3 demi-vies ?
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1/8. (1/2)³ = 1/8, soit 12,5 %.
2. Une source d’iode 131 (t½ = 8 jours) a une activité de 800 Bq. Quelle est son activité après 24 jours ?
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100 Bq. 24 jours font 3 demi-vies : 800 ÷ 8 = 100 Bq.
3. Du technétium 99m (t½ = 6 h) a une activité de 1 000 Bq. Que vaut-elle 24 h plus tard ?
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62,5 Bq. 24 h font 4 demi-vies : 1 000 ÷ 16 = 62,5 Bq.
4. Un os a gardé 25 % de son carbone 14 (t½ = 5 730 ans). Quel est son âge ?
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11 460 ans. 25 % correspond à 2 demi-vies : 2 × 5 730 = 11 460 ans.
5. Pour un noyau de demi-vie 8,02 jours, que vaut λ ?
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0,0864 jour⁻¹. λ = ln 2 ÷ 8,02 ≈ 0,0864 jour⁻¹.
6. Au bout de combien de temps ne reste-t-il que 10 % du carbone 14 d’un échantillon ?
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Environ 19 000 ans. t = 5 730 × ln(10) ÷ ln 2 ≈ 19 000 ans.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la demi-vie d’un élément radioactif ?
C’est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon se désintègrent. On l’appelle aussi période radioactive.
Comment calculer une demi-vie ?
Si tu connais λ, utilise t½ = ln 2 ÷ λ. Sur une courbe, repère le temps pour lequel N ou A vaut la moitié de sa valeur de départ.
Un échantillon radioactif finit-il par disparaître ?
Son activité diminue sans cesse, mais de plus en plus lentement. Après 10 demi-vies, il reste environ 0,1 % des noyaux de départ.