L’essentiel
Le calcul littéral consiste à calculer avec des lettres qui représentent des nombres. Développer, c’est transformer un produit en somme : k(a + b) = ka + kb. Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit en mettant un facteur commun en évidence : ka + kb = k(a + b).
Qu’est-ce qu’une expression littérale ?
Le calcul littéral s’appuie sur des expressions littérales, c’est-à-dire des calculs qui contiennent des lettres. Dans 3x + 2, la lettre x représente un nombre : pour x = 4, l’expression vaut 3 × 4 + 2 = 14.
On allège l’écriture : 3 × x s’écrit 3x, x × x s’écrit x², et 1x s’écrit x.
Pour réduire une expression, on regroupe uniquement les termes de même nature : les x avec les x, les x² avec les x², les nombres avec les nombres.
- 3x + 4x = 7x.
- 4x + 3 − x + 5 = 3x + 8.
- 2x² + 5x ne se réduit pas : x² et x ne sont pas de même nature.
Développer avec la distributivité simple
Le nombre placé devant la parenthèse multiplie chaque terme à l’intérieur, avec son signe.
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
- 3(x + 4) = 3x + 12.
- −2(x − 5) = −2x + 10.
- x(2x + 3) = 2x² + 3x.
- −(x − 5) = −x + 5 : un moins devant une parenthèse change tous les signes.
La double distributivité
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
- Exemple résolu : développe et réduis (x + 3)(2x − 5).
- Étape 1 : multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième. x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5).
- Étape 2 : calcule chaque produit. 2x² − 5x + 6x − 15.
- Étape 3 : réduis. (x + 3)(2x − 5) = 2x² + x − 15.
Astuce : Quand les parenthèses ont deux termes chacune, tu dois obtenir quatre produits avant de réduire. Compte-les.
Factoriser une expression
Une expression est sous forme factorisée quand elle s’écrit comme un produit. Factoriser sert surtout à résoudre des équations.
- Étape 1 : cherche ce qui se répète dans chaque terme, un nombre, une lettre ou une parenthèse entière.
- Étape 2 : écris ce facteur commun devant, puis ce qui reste de chaque terme entre crochets.
- Étape 3 : réduis ce qu’il y a dans les crochets, en faisant attention aux signes.
- 6x + 9 = 3 × 2x + 3 × 3 = 3(2x + 3).
- x² − 5x = x × x − 5 × x = x(x − 5).
- (x + 1)(2x + 3) + (x + 1)(x − 4) = (x + 1)[(2x + 3) + (x − 4)] = (x + 1)(3x − 1).
- (x + 2)(x − 1) − (x + 2)(3x + 4) = (x + 2)[(x − 1) − (3x + 4)] = (x + 2)(−2x − 5).
- Sans facteur commun visible, pense aux identités remarquables : x² − 25 = (x + 5)(x − 5).
Vérifier ton calcul avec une valeur
Remplace x par une valeur simple dans l’expression de départ et dans ton résultat. Si les deux valeurs diffèrent, il y a une erreur. Si elles sont égales, ton calcul a de bonnes chances d’être juste, mais ce n’est pas une preuve.
- Pour x = 1 : (x + 3)(2x − 5) = 4 × (−3) = −12, et 2x² + x − 15 = 2 + 1 − 15 = −12. Les deux valeurs concordent.
Les erreurs à éviter
3(x + 4) = 3x + 4 3(x + 4) = 3x + 12
Le 3 multiplie tous les termes de la parenthèse.
−(x − 5) = −x − 5 −(x − 5) = −x + 5
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme.
2x + 3x = 5x² 2x + 3x = 5x
On additionne des x, on ne les multiplie pas : 2 x plus 3 x font 5 x.
(x + 2)(x + 3) = x² + 6 (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
Il manque les deux produits croisés 3x et 2x.
Exercices corrigés
1. Réduis 7x + 2 − 3x + 5.
Voir la correction
4x + 7. 7x − 3x = 4x et 2 + 5 = 7.
2. Développe 5(2x − 3).
Voir la correction
10x − 15. 5 × 2x = 10x et 5 × (−3) = −15.
3. Développe et réduis (x + 4)(x − 2).
Voir la correction
x² + 2x − 8. x² − 2x + 4x − 8 = x² + 2x − 8.
4. Factorise 12x + 18.
Voir la correction
6(2x + 3). 12x = 6 × 2x et 18 = 6 × 3. Pour vérifier, redéveloppe : seule cette réponse redonne 12x + 18.
5. Factorise x² + 7x.
Voir la correction
x(x + 7). x est commun aux deux termes : x × x + x × 7.
6. Factorise (x + 5)(2x − 1) + (x + 5)(x + 3).
Voir la correction
(x + 5)(3x + 2). Le facteur commun est (x + 5). Il reste (2x − 1) + (x + 3) = 3x + 2.
Questions fréquentes
C’est quoi une expression littérale ?
C’est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres, comme 2x + 5. Sa valeur dépend du nombre choisi pour la lettre.
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme, factoriser transforme une somme en produit. Ce sont deux opérations inverses : 3(x + 2) et 3x + 6 sont la même expression.
Quand faut-il factoriser plutôt que développer ?
Factorise quand tu dois résoudre une équation égale à 0 ou étudier un signe. Développe pour réduire une expression ou comparer deux écritures.
Comment factoriser un polynôme de degré 2 ?
Cherche d’abord un facteur commun ou une identité remarquable. Sinon, calcule ses racines x₁ et x₂ avec le discriminant : il s’écrit alors a(x − x₁)(x − x₂). Par exemple, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).