L’essentiel
Une fonction paire vérifie f(−x) = f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Une fonction impaire vérifie f(−x) = −f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b et se représente par une droite.
Image, antécédent et courbe
Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre f(x). Avant d’étudier une fonction paire ou une fonction affine, il faut maîtriser deux mots. f(x) est l’image de x, et x est un antécédent de f(x).
Un nombre a une seule image, mais il peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.
- Si f(x) = x² − 3, l’image de 2 est f(2) = 4 − 3 = 1.
- Les antécédents de 6 vérifient x² − 3 = 6, soit x² = 9 : ce sont 3 et −3.
- Sur la courbe, on lit les antécédents sur l’axe horizontal et les images sur l’axe vertical.
Fonction affine : formule et reconnaissance
Dans f(x) = ax + b, le nombre a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine. Si b = 0, la fonction est linéaire et modélise une situation de proportionnalité. Si a = 0, elle est constante.
Fonction affine : f(x) = ax + b. Fonction linéaire : f(x) = ax.
| Expression | Nature | Pourquoi |
|---|---|---|
| f(x) = 3x − 2 | Affine | a = 3 et b = −2 |
| g(x) = 5x | Linéaire, donc affine | a = 5 et b = 0 |
| h(x) = 4 | Constante, donc affine | a = 0 et b = 4 |
| k(x) = x² + 1 | Ni affine ni linéaire | x est au carré |
| m(x) = 2/x | Ni affine ni linéaire | x est au dénominateur |
Calculer l’expression d’une fonction affine
Si la droite passe par (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂), alors a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- Exemple résolu : trouve la fonction affine telle que f(2) = 7 et f(5) = 16.
- Étape 1 : calcule a. a = (16 − 7) ÷ (5 − 2) = 9 ÷ 3 = 3.
- Étape 2 : calcule b avec un point. f(2) = 7 donne 3 × 2 + b = 7, donc b = 1.
- Étape 3 : conclus et vérifie. f(x) = 3x + 1, et f(5) = 15 + 1 = 16.
Représentation graphique d’une fonction affine
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Celle d’une fonction linéaire passe par l’origine. Le signe de a donne le sens de variation : si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante.
- Étape 1 : choisis deux valeurs de x. Pour f(x) = 2x − 1, prends 0 et 3.
- Étape 2 : calcule leurs images. f(0) = −1 et f(3) = 5.
- Étape 3 : place les points (0 ; −1) et (3 ; 5), puis trace la droite.
Astuce : Le coefficient directeur se lit sur la droite : quand x augmente de 1, y varie de a.
Fonction paire et fonction impaire
Sur un ensemble symétrique par rapport à 0 : paire si f(−x) = f(x), impaire si f(−x) = −f(x) pour tout x.
- Étape 1 : vérifie que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0. Si ce n’est pas le cas, la fonction n’est ni paire ni impaire.
- Étape 2 : calcule f(−x) en remplaçant x par (−x).
- Étape 3 : compare le résultat à f(x) et à −f(x).
- Étape 4 : pour prouver qu’elle n’est ni l’une ni l’autre, donne un contre-exemple chiffré.
| Fonction paire | Fonction impaire | Ni l’une ni l’autre |
|---|---|---|
| x² | x³ | √x |
| Valeur absolue |x| | 1/x | x + 1 |
| cos x | sin x | x² + x |
- f(x) = x² + 1 : f(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1 = f(x). Elle est paire.
- g(x) = x³ − 2x : g(−x) = −x³ + 2x = −g(x). Elle est impaire.
- h(x) = x² + x : h(1) = 2 et h(−1) = 0. On n’a ni h(−1) = h(1), ni h(−1) = −h(1) : elle n’est ni paire ni impaire.
Les erreurs à éviter
f(x) = 2x + 3 : l’ordonnée à l’origine est 2 L’ordonnée à l’origine est 3
C’est la valeur de f(0), soit le nombre sans x.
Une fonction qui n’est pas paire est impaire Elle peut n’être ni paire ni impaire
La plupart des fonctions ne sont ni l’une ni l’autre, comme x² + x.
f(2) = 5 : l’image de 5 est 2 5 est l’image de 2, et 2 est un antécédent de 5
L’image est le résultat f(x), l’antécédent est le nombre de départ.
Exercices corrigés
1. Si f(x) = 3x − 4, quelle est l’image de 2 ?
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2. f(2) = 3 × 2 − 4 = 2.
2. Si f(x) = 2x + 5, quel est l’antécédent de 11 ?
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3. 2x + 5 = 11 donne 2x = 6, donc x = 3. Le résultat 27 est l’image de 11, pas son antécédent.
3. Laquelle de ces fonctions est affine ?
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f(x) = 4 − 3x. 4 − 3x s’écrit −3x + 4 : a = −3 et b = 4.
4. Une droite passe par A(1 ; 2) et B(3 ; 8). Quel est son coefficient directeur ?
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3. a = (8 − 2) ÷ (3 − 1) = 6 ÷ 2 = 3.
5. La fonction f(x) = x⁴ − 3x², définie sur R, est :
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paire. f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x).
6. La fonction g(x) = x³ + x + 1, définie sur R, est :
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ni paire ni impaire. g(1) = 3 et g(−1) = −1 : on n’a ni g(−1) = g(1), ni g(−1) = −g(1).
Questions fréquentes
Comment reconnaître une fonction affine ?
Son expression s’écrit ax + b, sans x², sans x au dénominateur ni sous une racine. Sa courbe est une droite non verticale.
Quelle est la différence entre fonction linéaire et fonction affine ?
Une fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0 : sa droite passe par l’origine. Toute fonction linéaire est affine, mais l’inverse est faux.
Une fonction peut-elle être à la fois paire et impaire ?
Oui, mais seulement la fonction nulle, f(x) = 0, définie sur un ensemble symétrique par rapport à 0.
Comment calculer un coefficient directeur ?
Prends deux points de la droite et divise la différence des ordonnées par la différence des abscisses, dans le même ordre.