L’essentiel
Un nombre relatif est un nombre muni d’un signe + ou −, qui indique sa position par rapport à zéro sur une droite graduée : −3, +7, 0. Deux nombres de même signe s’ajoutent. Pour deux signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
C’est quoi un nombre relatif ?
Un nombre relatif sert à repérer une valeur de part et d’autre de zéro : une température de −4 °C, une altitude de −20 m, le deuxième sous-sol d’un immeuble. Il est positif s’il est à droite de zéro sur la droite graduée, négatif s’il est à gauche. Le signe + est souvent sous-entendu : +7 s’écrit 7.
Sa distance à zéro est le nombre sans son signe : −6 et +6 sont tous les deux à la distance 6 de zéro.
Deux nombres sont opposés quand ils ont la même distance à zéro et des signes contraires : −4 et 4. Leur somme vaut 0.
Comparer des nombres relatifs
Sur une droite graduée, un nombre est toujours plus petit que ceux placés à sa droite. Un nombre négatif est donc plus petit qu’un nombre positif.
Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
- −7 < −2, car 7 est plus grand que 2.
- Rangés dans l’ordre croissant : −7 ; −4,5 ; −2 ; 0 ; 3.
Astuce : Pense à un thermomètre : il fait plus froid à −7 °C qu’à −2 °C.
Addition de nombres relatifs
| Cas | Méthode | Exemple |
|---|---|---|
| Même signe | Ajoute les distances à zéro, garde le signe | (−4) + (−6) = −10 |
| Signes contraires | Soustrais les distances à zéro, garde le signe du plus éloigné de zéro | (+7) + (−2) = +5 et (−9) + (+4) = −5 |
| Nombres opposés | La somme est nulle | (−6) + (+6) = 0 |
Astuce : Pense à de l’argent : tu dois 9 € et tu en gagnes 4, il te manque encore 5 €.
Soustraction de nombres relatifs
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : a − b = a + (−b).
- Exemple résolu : calcule A = 7 − (−3) + (−12) − 4.
- Étape 1 : transforme les soustractions de nombres négatifs. A = 7 + 3 + (−12) − 4.
- Étape 2 : simplifie l’écriture. A = 7 + 3 − 12 − 4.
- Étape 3 : regroupe les positifs et les négatifs. A = 10 − 16 = −6.
- 5 − 8 = 5 + (−8) = −3.
- (−3) − (−7) = (−3) + 7 = 4.
- (−2) − 6 = (−2) + (−6) = −8.
Multiplication et division : la règle des signes
Avec plusieurs facteurs, compte les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif. Ainsi, (−2) × (−3) × (−5) = −30.
Les priorités ne changent pas : −3 + 4 × (−2) = −3 − 8 = −11.
Deux signes identiques donnent un résultat positif. Deux signes contraires donnent un résultat négatif.
| Signes | Résultat | Exemples |
|---|---|---|
| + et + | + | 3 × 5 = 15 |
| − et − | + | (−4) × (−3) = 12 et (−18) ÷ (−3) = 6 |
| + et − | − | 6 × (−5) = −30 |
| − et + | − | (−20) ÷ 4 = −5 |
Les erreurs à éviter
(−3) + (−4) = +7 (−3) + (−4) = −7
La règle « moins par moins donne plus » vaut pour la multiplication et la division, pas pour l’addition.
−8 > −3 −8 < −3
Entre deux négatifs, le plus éloigné de zéro est le plus petit.
5 − (−2) = 3 5 − (−2) = 5 + 2 = 7
Soustraire −2 revient à ajouter son opposé, 2.
Exercices corrigés
1. Quel est le plus petit de ces nombres ?
Voir la correction
−9. −9 est le nombre négatif le plus éloigné de zéro.
2. Combien font (−6) + (+10) ?
Voir la correction
+4. Signes contraires : 10 − 6 = 4, avec le signe de 10.
3. Combien font (−7) + (−8) ?
Voir la correction
−15. Même signe : on ajoute 7 et 8, et on garde le signe −.
4. Combien font 4 − 9 ?
Voir la correction
−5. 4 − 9 = 4 + (−9) = −5.
5. Combien font (−3) − (−11) ?
Voir la correction
8. (−3) − (−11) = (−3) + 11 = 8.
6. Calcule 5 + (−2) × (−4) − 10.
Voir la correction
3. La multiplication d’abord : (−2) × (−4) = 8. Puis 5 + 8 − 10 = 3.
Questions fréquentes
Zéro est-il positif ou négatif ?
En France, on dit que zéro est à la fois positif et négatif : c’est le seul nombre dans ce cas. Il est son propre opposé.
Pourquoi moins par moins donne-t-il plus ?
Multiplier par −1, c’est prendre l’opposé. Or l’opposé de −3 est 3, donc (−1) × (−3) = 3.
Quelle est la différence entre le signe d’un nombre et une soustraction ?
Dans −3, le tiret indique que le nombre est négatif. Dans 5 − 3, il indique une opération. On peut toujours passer de l’un à l’autre : 5 − 3 = 5 + (−3).