L’essentiel
Une identité remarquable est une égalité toujours vraie qui permet de développer ou de factoriser rapidement. Les trois à connaître sont (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b².
Les 3 identités remarquables
Une identité remarquable reste vraie quelles que soient les valeurs de a et de b. Elle évite de refaire la double distributivité à chaque calcul, et surtout elle permet de factoriser des expressions sans facteur commun visible.
(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b²
| Identité | Forme factorisée | Forme développée |
|---|---|---|
| Carré d’une somme | (x + 3)² | x² + 6x + 9 |
| Carré d’une différence | (x − 5)² | x² − 10x + 25 |
| Produit somme et différence | (x + 4)(x − 4) | x² − 16 |
D’où viennent ces formules
Rien à apprendre sans comprendre : chaque identité se retrouve avec la double distributivité. Si tu as un trou de mémoire, refais ce calcul.
- (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
- (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ab + b² = a² − 2ab + b².
- (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b².
Astuce : Le terme 2ab s’appelle le double produit. C’est lui qu’on oublie le plus souvent.
Développer avec une identité remarquable
- Exemple résolu : développe (2x + 3)².
- Étape 1 : reconnais la forme (a + b)², avec a = 2x et b = 3.
- Étape 2 : calcule chaque terme. a² = (2x)² = 4x² ; 2ab = 2 × 2x × 3 = 12x ; b² = 9.
- Étape 3 : écris le résultat. (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.
- (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.
- (5x + 1)(5x − 1) = 25x² − 1.
Factoriser avec une identité remarquable
Ici, on lit la formule de droite à gauche. Repère deux carrés, puis vérifie le double produit.
- x² + 8x + 16 : a = x et b = 4, et 2 × x × 4 = 8x, donc x² + 8x + 16 = (x + 4)².
- 9x² − 30x + 25 : a = 3x et b = 5, et 2 × 3x × 5 = 30x, donc 9x² − 30x + 25 = (3x − 5)².
- 4x² − 49 = (2x)² − 7² = (2x + 7)(2x − 7).
- (x + 1)² − 9 = (x + 1 + 3)(x + 1 − 3) = (x + 4)(x − 2).
Identité remarquable et calcul mental
Ces formules servent aussi à calculer de tête des carrés et des produits proches d’un nombre rond.
- 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
- 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 2 500 − 1 = 2 499.
Identité remarquable au cube, de degré 3
Au lycée, tu peux rencontrer les formules de degré 3. Les coefficients 1, 3, 3, 1 sont ceux du triangle de Pascal.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ et (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
- (x + 2)³ = x³ + 3 × x² × 2 + 3 × x × 4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8.
Les erreurs à éviter
(x + 3)² = x² + 9 (x + 3)² = x² + 6x + 9
Le double produit 2 × x × 3 = 6x ne doit pas disparaître. Teste avec x = 1 : 16 n’est pas égal à 10.
(2x)² = 2x² (2x)² = 4x²
Le carré porte sur tout ce qui est entre parenthèses, y compris le 2.
(x − 4)² = x² − 8x − 16 (x − 4)² = x² − 8x + 16
Le dernier terme est un carré, il est toujours positif.
Exercices corrigés
1. Développe (x + 6)².
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x² + 12x + 36. a = x et b = 6 : le double produit vaut 12x et b² = 36.
2. Développe (x − 7)².
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x² − 14x + 49. Le double produit est négatif, le carré de 7 est positif.
3. Développe (3x + 5)(3x − 5).
Voir la correction
9x² − 25. C’est a² − b², avec a = 3x et b = 5.
4. Factorise x² − 81.
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(x − 9)(x + 9). x² − 81 = x² − 9², une différence de deux carrés.
5. Factorise 4x² + 20x + 25.
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(2x + 5)². a = 2x et b = 5, et 2 × 2x × 5 = 20x.
6. Calcule 102² sans calculatrice.
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10 404. (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
Questions fréquentes
Combien y a-t-il d’identités remarquables ?
Au collège et en seconde, on en utilise trois. Au lycée, on rencontre aussi celles de degré 3, comme (a + b)³.
Comment reconnaître une identité remarquable ?
Pour factoriser, cherche deux carrés. S’ils sont séparés par un moins sans autre terme, c’est a² − b². S’il y a trois termes, vérifie que le terme du milieu vaut 2ab.
À quoi servent les identités remarquables ?
Elles servent à développer plus vite, à factoriser pour résoudre une équation, et à faire du calcul mental.