Double distributivité : formule, méthode et exemples

La formule de la double distributivité

La double distributivité prolonge la distributivité simple. Avec une seule parenthèse, on distribue un facteur sur deux termes. Avec deux parenthèses, chaque terme de la première parenthèse se distribue sur les deux termes de la seconde.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

La méthode en 3 étapes

• Écris les quatre produits : le premier terme par les deux termes de l’autre parenthèse, puis le second terme par les deux mêmes.
• Calcule chaque produit en gardant son signe.
• Réduis : regroupe les x² ensemble, les x ensemble, les nombres ensemble.

• (x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
• (2x − 1)(x + 4) = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4
• (3x − 2)(2x − 5) = 6x² − 15x − 4x + 10 = 6x² − 19x + 10

Astuce : Pour vérifier, remplace x par 2 dans les deux écritures. Pour (2x − 1)(x + 4) : 3 × 6 = 18, et 2 × 4 + 14 − 4 = 18. Le développement est cohérent.

Gérer les signes moins

Considère le signe comme collé au terme qui le suit. Dans (x − 3), les deux termes sont x et −3. La règle des signes s’applique ensuite à chaque produit : deux signes identiques donnent un plus, deux signes différents donnent un moins.

Quand un signe moins précède les parenthèses

Une expression comme 5 − (x + 1)(x − 2) se traite en deux temps. Développe d’abord le produit en le gardant entre parenthèses. Enlève ensuite ces parenthèses en changeant tous les signes.

• (x + 1)(x − 2) = x² − 2x + x − 2 = x² − x − 2
• 5 − (x² − x − 2) = 5 − x² + x + 2 = −x² + x + 7

Pourquoi ça marche : l’aire d’un rectangle

Prends un rectangle de côtés a + b et c + d. Son aire vaut (a + b)(c + d). Découpe-le en quatre rectangles : leurs aires sont ac, ad, bc et bd. La somme des quatre donne la même aire, ce qui explique la formule.

Les identités remarquables en découlent : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

La formule sert aussi en calcul mental : 21 × 13 = (20 + 1)(10 + 3) = 200 + 60 + 10 + 3 = 273.

À quoi sert la double distributivité : équations et cas plus longs

Développer permet souvent de simplifier une équation. Quand les x² se retrouvent des deux côtés, ils s’annulent et il ne reste qu’une équation du premier degré.

La règle ne se limite pas à deux termes par parenthèse. Chaque terme de la première parenthèse multiplie toujours chaque terme de la seconde : avec 2 termes et 3 termes, on écrit 2 × 3 = 6 produits. Elle s’applique aussi aux nombres écrits avec une racine carrée.

• Équation. (x + 3)(x − 1) = x² + 5 devient x² + 2x − 3 = x² + 5, donc 2x = 8 et x = 4. Vérification : 7 × 3 = 21 et 16 + 5 = 21.
• Trois termes. (x + 1)(x² + x + 2) = x³ + x² + 2x + x² + x + 2 = x³ + 2x² + 3x + 2.
• Racines carrées. (√2 + 1)(√2 − 3) = 2 − 3√2 + √2 − 3 = −1 − 2√2.

1. 1. Développe et réduis (x + 1)(x + 5).

   x² + 5x² + 6x + 5x² + 5x + 62x + 6
   Voir la correction

   x² + 6x + 5. x² + 5x + x + 5 = x² + 6x + 5.

2. 2. Développe et réduis (x − 3)(x + 2).

   x² − x − 6x² + x − 6x² − 5x − 6x² − 6
   Voir la correction

   x² − x − 6. x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6.

3. 3. Développe et réduis (2x + 3)(x − 1).

   2x² + 5x − 32x² − 32x² + x + 32x² + x − 3
   Voir la correction

   2x² + x − 3. 2x² − 2x + 3x − 3 = 2x² + x − 3.

4. 4. Développe et réduis (x − 4)(x − 2).

   x² − 6x − 8x² + 6x + 8x² − 6x + 8x² − 2x + 8
   Voir la correction

   x² − 6x + 8. x² − 2x − 4x + 8 = x² − 6x + 8. Le produit (−4) × (−2) est positif.

5. 5. Développe et réduis (3x − 1)(2x + 5).

   6x² + 13x − 56x² + 17x − 56x² − 13x + 55x² + 13x − 5
   Voir la correction

   6x² + 13x − 5. 6x² + 15x − 2x − 5 = 6x² + 13x − 5.

6. 6. Développe et réduis 1 − (x − 2)(x + 3).

   x² + x − 5−x² + x + 7−x² − x + 7−x² − x − 5
   Voir la correction

   −x² − x + 7. (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, donc 1 − x² − x + 6 = −x² − x + 7.