L’essentiel
Un tableau de proportionnalité est un tableau où l’on passe d’une ligne à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité. Pour trouver une valeur manquante, utilise le produit en croix : si a correspond à b, alors c correspond à b × c ÷ a.
Calculateur de produit en croix
Produit en croix : 6 × 10 ÷ 4
Résultat : 15
La proportionnalité : définition
Un tableau de proportionnalité range les valeurs de deux grandeurs proportionnelles. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient toutes les valeurs de l’une en multipliant celles de l’autre par un même nombre.
Si un cahier coûte 1,50 €, le prix est proportionnel au nombre de cahiers, et le coefficient de proportionnalité vaut 1,5.
Deuxième ligne = coefficient × première ligne, pour toutes les colonnes.
| Nombre de cahiers | 2 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 3 | 4,50 | 7,50 | 12 |
Comment reconnaître un tableau de proportionnalité
- Étape 1 : dans chaque colonne, divise le nombre du bas par celui du haut.
- Étape 2 : si tu obtiens toujours le même quotient, le tableau est proportionnel. Ce quotient est le coefficient.
- Étape 3 : si un seul quotient diffère, le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
- 4 → 10, 6 → 15 et 10 → 25 : 10 ÷ 4 = 2,5 ; 15 ÷ 6 = 2,5 ; 25 ÷ 10 = 2,5. Le tableau est proportionnel, de coefficient 2,5.
- 2 → 7 et 5 → 16 : 7 ÷ 2 = 3,5 mais 16 ÷ 5 = 3,2. Le tableau n’est pas proportionnel.
Astuce : Sur un graphique, une situation de proportionnalité donne des points alignés avec l’origine du repère.
Comment calculer un produit en croix
Le produit en croix sert quand il manque une seule valeur dans un tableau à deux lignes et deux colonnes. Exemple : 3 kg de pommes coûtent 7,20 €, combien coûtent 5 kg ?
Si a correspond à b et c correspond à x, alors x = b × c ÷ a.
- Étape 1 : place les trois nombres connus dans le tableau, chaque grandeur sur sa ligne.
- Étape 2 : multiplie les deux nombres de la diagonale qui ne contient pas x : 7,20 × 5 = 36.
- Étape 3 : divise par le troisième nombre : 36 ÷ 3 = 12. Les 5 kg coûtent 12 €.
| Masse (kg) | 3 | 5 |
|---|---|---|
| Prix (€) | 7,20 | x |
Les autres façons de calculer une proportionnalité
Le produit en croix marche toujours, mais d’autres méthodes sont plus rapides quand les nombres s’y prêtent.
- Passage à l’unité : 5 stylos coûtent 6 €, donc 1 stylo coûte 1,20 € et 7 stylos coûtent 7 × 1,20 = 8,40 €.
- Multiplier une colonne : une recette pour 4 personnes demande 300 g de farine. Pour 12 personnes, il y a 3 fois plus de monde, donc 900 g.
- Additionner deux colonnes : 2 cahiers coûtent 3 € et 3 cahiers 4,50 €, donc 5 cahiers coûtent 7,50 €.
- Échelle : sur une carte au 1/25 000, 4 cm représentent 4 × 25 000 = 100 000 cm, soit 1 km.
Vérifier avec le calculateur de produit en croix
Reprends l’exemple des pommes. Saisis 3 dans « Quantité connue », 7,20 dans « Elle correspond à » et 5 dans « Quantité cherchée ». Le calculateur affiche la ligne 7,2 × 5 ÷ 3 et le résultat 12.
Il applique la formule sans contrôler la situation : à toi de vérifier d’abord que les deux grandeurs sont bien proportionnelles.
Les erreurs à éviter
Un enfant de 5 ans mesure 1,10 m, donc à 10 ans il mesurera 2,20 m L’âge et la taille ne sont pas proportionnels
Le produit en croix ne s’applique qu’à une situation de proportionnalité.
3 → 7 et 5 → x : x = 3 × 5 ÷ 7 x = 7 × 5 ÷ 3
On multiplie les deux nombres de la diagonale qui ne contient pas x, et on divise par le nombre restant, celui de la diagonale de x.
2 → 5 et 6 → 9 est proportionnel, car on ajoute 3 Ce tableau n’est pas proportionnel : 5 ÷ 2 = 2,5 et 9 ÷ 6 = 1,5
On passe d’une ligne à l’autre en multipliant, pas en ajoutant.
Exercices corrigés
1. Le tableau 3 → 12, 5 → 20, 7 → 28 est-il un tableau de proportionnalité ?
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Oui, le coefficient est 4. 12 ÷ 3 = 20 ÷ 5 = 28 ÷ 7 = 4.
2. Le tableau 2 → 6, 4 → 12, 5 → 16 est-il un tableau de proportionnalité ?
Voir la correction
Non, car 16 ÷ 5 = 3,2. Les deux premiers quotients valent 3, mais le troisième vaut 3,2.
3. 6 croissants coûtent 7,20 €. Combien coûtent 10 croissants ?
Voir la correction
12 €. 7,20 × 10 ÷ 6 = 12 €. Un croissant coûte 1,20 €.
4. À vitesse constante, une voiture parcourt 150 km en 2 h. Quelle distance parcourt-elle en 45 min ?
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56,25 km. 2 h = 120 min, donc 150 × 45 ÷ 120 = 56,25 km.
5. Sur un plan à l’échelle 1/200, un mur mesure 3,5 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
Voir la correction
7 m. 3,5 × 200 = 700 cm, soit 7 m.
6. Dans le tableau 8 → 14 et 20 → x, combien vaut x ?
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35. x = 14 × 20 ÷ 8 = 35. Ajouter 12 à 14 donnerait 26, mais la proportionnalité multiplie.
Questions fréquentes
Comment calculer une proportionnalité ?
Divise une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première : tu obtiens le coefficient. Multiplie ensuite par ce coefficient. Si une seule valeur manque, le produit en croix va plus vite.
Comment faire un produit en croix ?
Place les nombres dans un tableau à deux lignes et deux colonnes. Multiplie les deux nombres en diagonale, puis divise par le troisième.
Comment savoir si deux grandeurs sont proportionnelles ?
Calcule les quotients dans chaque colonne : ils doivent tous être égaux. Sur un graphique, les points doivent être alignés avec l’origine.
Quel est le lien entre proportionnalité et fonction linéaire ?
Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire f(x) = ax, où a est le coefficient de proportionnalité.