Intégration par parties : formule, méthode et exemples

La formule de l’intégration par parties

L’intégration par parties transforme l’intégrale d’un produit en une autre intégrale, plus facile à calculer. Elle s’applique quand u et v sont dérivables sur [a ; b], avec u′ et v′ continues.

∫ de a à b de u(x) v′(x) dx = [u(x) v(x)] de a à b − ∫ de a à b de u′(x) v(x) dx, où [u(x) v(x)] de a à b vaut u(b) v(b) − u(a) v(a).

D’où vient la formule

Elle découle de la dérivée d’un produit : (uv)′ = u′v + uv′, donc uv′ = (uv)′ − u′v. On intègre les deux membres entre a et b. Comme uv est une primitive de (uv)′, on obtient [uv] de a à b, moins l’intégrale de u′v.

Comment choisir u et v′

Tout l’enjeu est là. Il faut que u se simplifie en se dérivant et que v′ ait une primitive connue. Un polynôme perd un degré à chaque dérivation, ce qui en fait un bon choix pour u, sauf devant ln x : ln x ne figure pas dans le tableau des primitives usuelles, c’est donc lui qu’on dérive.

Astuce : Écris toujours les quatre fonctions avant de calculer : u et v′ d’un côté, u′ et v de l’autre. La plupart des erreurs viennent d’une rédaction trop rapide.

Exemples d’intégration par parties

• Calculer ∫ de 0 à 1 de x eˣ dx. On pose u = x et v′ = eˣ, donc u′ = 1 et v = eˣ. L’intégrale vaut [x eˣ] de 0 à 1 − ∫ de 0 à 1 de eˣ dx = e − [eˣ] de 0 à 1 = e − (e − 1) = 1.
• Calculer ∫ de 1 à e de ln x dx. On écrit ln x = ln x × 1. On pose u = ln x et v′ = 1, donc u′ = 1/x et v = x. L’intégrale vaut [x ln x] de 1 à e − ∫ de 1 à e de 1 dx = e − (e − 1) = 1.
• Calculer ∫ de 0 à π de x cos x dx. On pose u = x et v′ = cos x, donc u′ = 1 et v = sin x. L’intégrale vaut [x sin x] de 0 à π − ∫ de 0 à π de sin x dx = 0 − [−cos x] de 0 à π = 0 − 2 = −2.
• Calculer ∫ de 1 à e de x ln x dx. On pose u = ln x et v′ = x, donc u′ = 1/x et v = x²/2. L’intégrale vaut [(x²/2) ln x] de 1 à e − ∫ de 1 à e de x/2 dx = e²/2 − (e²/4 − 1/4) = (e² + 1)/4.

Deux intégrations par parties de suite

Un polynôme de degré 2 demande deux IPP : chaque étape abaisse son degré de 1. Le résultat de la première contient une intégrale qu’on sait déjà traiter.

• ∫ de 0 à 1 de x² eˣ dx : on pose u = x² et v′ = eˣ. On obtient [x² eˣ] de 0 à 1 − 2 ∫ de 0 à 1 de x eˣ dx = e − 2 × 1 = e − 2, en réutilisant le premier exemple.

Trouver une primitive grâce à l’IPP

L’IPP sert aussi à trouver une primitive : on intègre entre une constante et x. C’est ainsi qu’on obtient la primitive de ln x, à retenir car elle revient souvent.

Sur ]0 ; +∞[, une primitive de ln x est F(x) = x ln x − x.

• Vérification : F′(x) = 1 × ln x + x × (1/x) − 1 = ln x + 1 − 1 = ln x.

1. 1. Pour calculer ∫ de 0 à 2 de x eˣ dx par parties, quel choix convient ?

   u = eˣ et v′ = xu = x et v′ = eˣu = x eˣ et v′ = 1u = 1 et v′ = x eˣ
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   u = x et v′ = eˣ. En dérivant x, on obtient 1 : la nouvelle intégrale ne contient plus que eˣ.

2. 2. Pour calculer ∫ de 1 à 2 de x² ln x dx par parties, quel choix convient ?

   u = x² et v′ = ln xu = 1 et v′ = x² ln xu = ln x et v′ = x²u = x et v′ = x ln x
   Voir la correction

   u = ln x et v′ = x². On dérive ln x en 1/x, et x² a pour primitive x³/3. Le produit se simplifie.

3. 3. Quelle est la bonne formule de l’intégration par parties ?

   ∫ u v′ = [u′ v] − ∫ u v′∫ u v′ = [u v] + ∫ u′ v∫ u v′ = [u v] − ∫ u′ v′∫ u v′ = [u v] − ∫ u′ v
   Voir la correction

   ∫ u v′ = [u v] − ∫ u′ v. On retire l’intégrale de u′v, où u a été dérivée et v′ remplacée par sa primitive v.

4. 4. Combien vaut ∫ de 0 à π de x sin x dx ?

   π01−π
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   π. Avec u = x et v′ = sin x, v = −cos x. On obtient [−x cos x] de 0 à π + ∫ de 0 à π de cos x dx = π + 0 = π.

5. 5. Quelle fonction est une primitive de ln x sur ]0 ; +∞[ ?

   1/xx ln x + xx ln x − x(ln x)²
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   x ln x − x. La dérivée de x ln x − x vaut ln x + 1 − 1 = ln x.

6. 6. Combien vaut ∫ de 0 à 1 de (2x + 1) eˣ dx ?

   3e − 1e + 1e − 12e
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   e + 1. Avec u = 2x + 1 et v′ = eˣ : [(2x + 1) eˣ] de 0 à 1 − 2 ∫ de 0 à 1 de eˣ dx = (3e − 1) − 2(e − 1) = e + 1.