L’essentiel
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on étudie en général le signe de uₙ₊₁ − uₙ : s’il est positif pour tout n, la suite est croissante, s’il est négatif, elle est décroissante. On peut aussi comparer uₙ₊₁/uₙ à 1 si les termes sont strictement positifs, ou utiliser la fonction f quand uₙ = f(n).
Que veut dire sens de variation d’une suite ?
Le sens de variation dit si les termes d’une suite augmentent ou diminuent quand n grandit. La comparaison doit porter sur tous les termes consécutifs, pas sur quelques-uns.
| La suite est | Si | Exemple |
|---|---|---|
| Croissante | uₙ₊₁ ≥ uₙ | 1 ; 3 ; 5 ; 7… |
| Décroissante | uₙ₊₁ ≤ uₙ | 10 ; 5 ; 2,5 ; 1,25… |
| Constante | uₙ₊₁ = uₙ | 4 ; 4 ; 4 ; 4… |
| Ni l’un ni l’autre | Le signe de uₙ₊₁ − uₙ change | 1 ; −1 ; 1 ; −1… |
Astuce : Une suite monotone est une suite croissante ou décroissante. Avec des inégalités strictes, on parle de suite strictement croissante ou strictement décroissante.
Méthode 1 : le signe de la différence
C’est la méthode universelle. On calcule uₙ₊₁ − uₙ, on simplifie, puis on cherche son signe pour tout n.
Si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 pour tout n, la suite est croissante. Si uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0 pour tout n, elle est décroissante.
- Avec une formule explicite. uₙ = n² + n. Alors uₙ₊₁ − uₙ = (n + 1)² + (n + 1) − n² − n = 2n + 2. Comme n ≥ 0, ce nombre est positif : la suite est strictement croissante.
- Avec une relation de récurrence. u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ − n² − 1. Alors uₙ₊₁ − uₙ = −n² − 1, toujours négatif : la suite est strictement décroissante.
Méthode 2 : comparer le quotient à 1
Cette méthode convient aux suites avec des puissances, à condition que tous les termes soient strictement positifs. On compare alors uₙ₊₁/uₙ à 1.
Si tous les termes sont strictement positifs : uₙ₊₁/uₙ ≥ 1 donne une suite croissante, uₙ₊₁/uₙ ≤ 1 une suite décroissante.
- uₙ = n/2ⁿ pour n ≥ 1. Tous les termes sont strictement positifs et uₙ₊₁/uₙ = (n + 1)/(2n). Or n + 1 ≤ 2n pour n ≥ 1, donc le quotient est inférieur ou égal à 1 : la suite est décroissante.
Méthode 3 : la fonction associée
Si la suite s’écrit uₙ = f(n), elle hérite du sens de variation de f sur [0 ; +∞[. On étudie alors le signe de la dérivée.
- uₙ = n³ + 2n : f(x) = x³ + 2x a pour dérivée 3x² + 2, strictement positive. Donc f est croissante et la suite aussi.
Astuce : Ne l’applique jamais à uₙ₊₁ = f(uₙ). Avec u₀ = 8 et uₙ₊₁ = uₙ/2, la fonction x/2 est croissante, mais la suite 8, 4, 2, 1… décroît.
Sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique
Pour ces deux familles, inutile de faire le calcul à chaque fois : il suffit de regarder la raison, et le premier terme pour une suite géométrique.
| Suite | Condition | Sens de variation |
|---|---|---|
| Arithmétique de raison r | r > 0 | Strictement croissante |
| Arithmétique de raison r | r < 0 | Strictement décroissante |
| Géométrique, u₀ > 0 | q > 1 | Strictement croissante |
| Géométrique, u₀ > 0 | 0 < q < 1 | Strictement décroissante |
| Géométrique, u₀ < 0 | q > 1 | Strictement décroissante |
| Géométrique, u₀ < 0 | 0 < q < 1 | Strictement croissante |
| Géométrique, u₀ ≠ 0 | q < 0 | Ni croissante ni décroissante |
Le raisonnement par récurrence en terminale
Pour une suite uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f croissante et u₀ ≤ u₁, on démontre par récurrence que uₙ ≤ uₙ₊₁. Si l’inégalité est vraie au rang n, on applique f, qui conserve l’ordre, et on obtient uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂.
- u₀ = 1 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 2). Initialisation : u₁ = √3 ≥ 1. Hérédité : la fonction x ↦ √(x + 2) est croissante, donc l’inégalité se transmet. La suite est croissante.
Les erreurs à éviter
u₀ = 0 et u₁ = 1, donc la suite est croissante. Il faut comparer uₙ₊₁ et uₙ pour tout n.
Avec uₙ = 2n − n², on a 0, 1, 0, −3… Les premiers termes ne prouvent rien.
uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f croissante, donc la suite est croissante. Le sens de variation de f ne suffit pas dans ce cas.
La propriété de la fonction associée vaut seulement pour uₙ = f(n). Avec une récurrence, on utilise la différence ou une démonstration par récurrence.
Comparer uₙ₊₁/uₙ à 1 sans regarder le signe des termes. Vérifier d’abord que tous les termes sont strictement positifs.
Si les termes sont négatifs, multiplier par uₙ inverse l’inégalité : la conclusion serait fausse.
Exercices corrigés
1. Quel est le sens de variation de la suite uₙ = 7 − 3n ?
Voir la correction
Décroissante. C’est une suite arithmétique de raison −3, négative.
2. On pose uₙ = n² + 1. Que vaut uₙ₊₁ − uₙ ?
Voir la correction
2n + 1. (n + 1)² + 1 − n² − 1 = 2n + 1, positif : la suite est croissante.
3. Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 5 et pour raison q = 0,8. Quel est son sens de variation ?
Voir la correction
Décroissante. u₀ > 0 et 0 < q < 1 : chaque terme vaut 80 % du précédent.
4. Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = −2 et pour raison q = 3. Quel est son sens de variation ?
Voir la correction
Décroissante. Les termes sont −2, −6, −18… : comme u₀ < 0 et q > 1, la suite décroît.
5. Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 1 et pour raison q = −2. Quel est son sens de variation ?
Voir la correction
Ni croissante ni décroissante. Les termes sont 1, −2, 4, −8… : leur signe alterne, la suite n’est pas monotone.
6. On pose u₀ = 10 et uₙ₊₁ = uₙ + n − 3. Que peut-on dire de la suite ?
Voir la correction
Elle n’est pas monotone, mais croît à partir du rang 3. uₙ₊₁ − uₙ = n − 3 est négatif pour n < 3, nul pour n = 3, positif ensuite : la suite décroît d’abord, puis croît.
Questions fréquentes
Comment étudier le sens de variation d’une suite ?
Calcule uₙ₊₁ − uₙ et cherche son signe pour tout n. Si les termes sont strictement positifs, tu peux aussi comparer uₙ₊₁/uₙ à 1, et si uₙ = f(n), étudier la fonction f.
Que veut dire qu’une suite est monotone ?
Une suite monotone est soit croissante, soit décroissante, sur tous ses termes. Elle ne change jamais de sens.
Une suite peut-elle n’être ni croissante ni décroissante ?
Oui. La suite (−1)ⁿ vaut 1, −1, 1, −1… : elle monte et descend sans arrêt.
Que signifie croissante à partir d’un certain rang ?
Les premiers termes peuvent varier dans n’importe quel sens, mais à partir d’un rang p, on a uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout n ≥ p.