L’essentiel
L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a s’écrit y = f′(a)(x − a) + f(a). Il suffit de calculer f(a) et f′(a), de les remplacer dans la formule, puis de simplifier. Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de cette droite.
La formule de l’équation de la tangente
Une tangente est la droite qui « frôle » une courbe en un point et qui donne la direction de la courbe à cet endroit. Son équation réduite se déduit de deux informations : le point de contact A(a ; f(a)) et le coefficient directeur f′(a).
La formule n’a rien de magique. Une droite de coefficient directeur m qui passe par A a pour équation y − f(a) = m(x − a). Avec m = f′(a), on retrouve la formule du cours.
Si f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point d’abscisse a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a).
Comment trouver l’équation d’une tangente en 4 étapes
- Calcule f(a) : remplace x par a dans l’expression de f.
- Calcule f′(x), puis f′(a) : le résultat doit être un nombre.
- Remplace dans y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Simplifie pour obtenir la forme y = mx + p.
- Exemple 1. f(x) = x² − 3x + 1 en a = 2. On a f(2) = 4 − 6 + 1 = −1. Puis f′(x) = 2x − 3, donc f′(2) = 1. La tangente a pour équation y = 1 × (x − 2) − 1, soit y = x − 3.
- Exemple 2. f(x) = 1/x en a = 1. On a f(1) = 1. Puis f′(x) = −1/x², donc f′(1) = −1. On obtient y = −(x − 1) + 1, soit y = −x + 2.
- Exemple 3. f(x) = eˣ en a = 0. On a f(0) = 1 et f′(0) = 1, donc y = x + 1.
Astuce : Vérifie ton équation : en remplaçant x par a, tu dois retrouver f(a). Dans l’exemple 1, 2 − 3 = −1 : c’est bon.
Lire le coefficient directeur d’une tangente sur un graphique
Le nombre dérivé f′(a) se lit directement sur la tangente : c’est sa pente. Choisis deux points de la droite placés sur le quadrillage, puis divise la variation des ordonnées par celle des abscisses.
| Tangente au point d’abscisse a | Nombre dérivé | Conséquence |
|---|---|---|
| Monte de gauche à droite | f′(a) > 0 | f est croissante autour de a |
| Descend de gauche à droite | f′(a) < 0 | f est décroissante autour de a |
| Horizontale | f′(a) = 0 | Extremum possible en a |
- La tangente en a passe par (1 ; 2) et (3 ; 6). Alors f′(a) = (6 − 2) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2.
Tangente horizontale et tangente parallèle à une droite
Certains exercices demandent l’abscisse a plutôt que l’équation. Le principe reste le même : on écrit une condition sur f′(a), puis on résout une équation.
Tangente horizontale : f′(a) = 0. Tangente parallèle à la droite y = mx + p : f′(a) = m.
- f(x) = x² − 4x + 5 : on résout 2x − 4 = 0, donc a = 2. Comme f(2) = 1, la tangente horizontale a pour équation y = 1.
- f(x) = x², tangente parallèle à y = 6x + 1 : on résout 2x = 6, donc a = 3. Comme f(3) = 9, on obtient y = 6(x − 3) + 9, soit y = 6x − 9.
Tangentes à connaître et position de la courbe
Deux tangentes reviennent souvent en terminale : celle de exp en 0, d’équation y = x + 1, et celle de ln en 1, d’équation y = x − 1. Elles donnent des approximations utiles près du point de contact.
Une tangente peut couper la courbe ailleurs : celle de x³ − 3x en a = 1, d’équation y = −2, recoupe la courbe en x = −2. En terminale, on précise : une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes, une fonction concave au-dessous.
Les erreurs à éviter
y = f(a)(x − a) + f′(a) y = f′(a)(x − a) + f(a)
Le nombre dérivé est la pente : il multiplie (x − a). L’image f(a) s’ajoute à la fin.
y = (2x − 3)(x − 2) − 1 y = 1 × (x − 2) − 1
Il faut remplacer x par a dans f′. Une tangente est une droite : son coefficient directeur est un nombre, pas une expression en x.
Pour a = −2 : y = f′(−2)(x − 2) + f(−2) y = f′(−2)(x + 2) + f(−2)
Le terme x − a devient x − (−2), soit x + 2.
Exercices corrigés
1. On sait que f(3) = 7 et f′(3) = 2. Quelle est l’équation de la tangente au point d’abscisse 3 ?
Voir la correction
y = 2x + 1. y = 2(x − 3) + 7 = 2x − 6 + 7 = 2x + 1.
2. Quelle est la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d’abscisse 1 ?
Voir la correction
y = 2x − 1. f(1) = 1 et f′(1) = 2, donc y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
3. Quelle est la tangente à la courbe de f(x) = x³ au point d’abscisse 2 ?
Voir la correction
y = 12x − 16. f(2) = 8 et f′(x) = 3x², donc f′(2) = 12. Alors y = 12(x − 2) + 8 = 12x − 16.
4. En quelle abscisse la courbe de f(x) = x² − 6x + 2 a-t-elle une tangente horizontale ?
Voir la correction
x = 3. On résout f′(x) = 0, soit 2x − 6 = 0, donc x = 3.
5. En quelle abscisse la tangente à la courbe de f(x) = x² + x est-elle parallèle à la droite y = 5x − 1 ?
Voir la correction
x = 2. Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur : 2x + 1 = 5, donc x = 2.
6. Quelle est la tangente à la courbe de f(x) = 1/x au point d’abscisse 2 ?
Voir la correction
y = −x/4 + 1. f(2) = 1/2 et f′(2) = −1/4. Donc y = −(x − 2)/4 + 1/2 = −x/4 + 1/2 + 1/2 = −x/4 + 1.
Questions fréquentes
Comment trouver l’équation d’une tangente ?
Calcule f(a), puis f′(a), remplace dans y = f′(a)(x − a) + f(a) et simplifie. Tu obtiens une équation de la forme y = mx + p.
Quel est le coefficient directeur de la tangente ?
C’est le nombre dérivé f′(a). Il donne la pente de la courbe au point d’abscisse a.
Comment savoir si une tangente est horizontale ?
Une tangente est horizontale quand f′(a) = 0. Son équation est alors y = f(a).
Quelle est la différence entre la tangente en trigonométrie et la tangente à une courbe ?
Le mot désigne deux notions. En trigonométrie, c’est un rapport de longueurs lié à un angle. Pour une courbe, c’est une droite qui touche la courbe en donnant sa direction.