L’essentiel
La somme d’une suite arithmétique se calcule avec la formule : S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2. Par exemple, 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5 050. Le seul vrai piège consiste à bien compter les termes : de u₀ à uₙ, il y en a n + 1.
La formule de la somme d’une suite arithmétique
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ne demande pas d’additionner un à un. Il suffit de connaître trois nombres : le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes.
S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2. Cas particulier : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) ÷ 2.
| Somme | Nombre de termes | Formule |
|---|---|---|
| u₀ + u₁ + … + uₙ | n + 1 | (n + 1)(u₀ + uₙ) ÷ 2 |
| u₁ + u₂ + … + uₙ | n | n(u₁ + uₙ) ÷ 2 |
| uₚ + … + uₙ | n − p + 1 | (n − p + 1)(uₚ + uₙ) ÷ 2 |
Comment calculer la somme en 3 étapes
- Compte les termes : du rang p au rang n, il y en a n − p + 1.
- Calcule le dernier terme s’il n’est pas donné, avec uₙ = u₀ + n × r.
- Applique la formule, sans oublier la division par 2.
- Les 20 premiers termes de la suite de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 4. Les termes vont de u₀ à u₁₉. On a u₁₉ = 3 + 19 × 4 = 79, donc S = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820.
- De u₅ à u₁₄ avec uₙ = 2n + 1. Il y a 14 − 5 + 1 = 10 termes, u₅ = 11 et u₁₄ = 29, donc S = 10 × 40 ÷ 2 = 200.
Astuce : Teste ton décompte sur un petit cas : de u₂ à u₄, on a u₂, u₃, u₄, soit 3 termes, et 4 − 2 + 1 = 3.
Calculer une somme écrite avec des points de suspension
Une somme peut être donnée sans suite nommée. Repère la raison, puis trouve le nombre de termes avec la formule : (dernier − premier) ÷ raison + 1.
- 2 + 4 + 6 + … + 100 : la raison vaut 2, il y a (100 − 2) ÷ 2 + 1 = 50 termes, et S = 50 × 102 ÷ 2 = 2 550.
- 5 + 8 + 11 + … + 62 : la raison vaut 3, il y a (62 − 5) ÷ 3 + 1 = 20 termes, et S = 20 × 67 ÷ 2 = 670.
La démonstration de la formule
On raconte que le jeune Gauss a trouvé cette astuce à l’école. Écris la somme S dans l’ordre, puis à l’envers, et additionne les deux lignes terme à terme.
- S = 1 + 2 + … + 99 + 100
- S = 100 + 99 + … + 2 + 1
- Chaque colonne vaut 101, et il y a 100 colonnes. Donc 2S = 100 × 101, d’où S = 5 050.
Astuce : L’idée marche pour toute suite arithmétique : le premier terme ajouté au dernier donne le même total que le deuxième ajouté à l’avant-dernier, car on ajoute r d’un côté et on enlève r de l’autre.
Un problème concret
Une somme arithmétique apparaît dès qu’une quantité augmente chaque fois du même montant et qu’on veut le total.
| Données | Formule | Vérification |
|---|---|---|
| n termes, premier terme a, raison r | S = n × a + r × n(n − 1) ÷ 2 | 20 termes, a = 3, r = 4 : 60 + 4 × 190 = 820 |
- Tu mets 20 € de côté le premier mois, puis 5 € de plus chaque mois. Le douzième mois, tu verses 20 + 11 × 5 = 75 €. Au bout de 12 mois, tu as épargné 12 × (20 + 75) ÷ 2 = 570 €.
Les erreurs à éviter
De u₀ à u₁₀, il y a 10 termes. De u₀ à u₁₀, il y a 11 termes.
Le terme de rang 0 compte aussi. Le nombre de termes est 10 − 0 + 1.
S = n × (premier + dernier) S = n × (premier + dernier) ÷ 2
C’est la moyenne du premier et du dernier terme que l’on multiplie par le nombre de termes.
Les 20 premiers termes vont de u₀ à u₂₀. Ils vont de u₀ à u₁₉.
Quand la suite commence à u₀, le terme numéro 20 porte l’indice 19.
Exercices corrigés
1. Combien vaut 1 + 2 + 3 + … + 50 ?
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1 275. 50 × 51 ÷ 2 = 1 275.
2. Combien y a-t-il de termes de u₃ à u₁₂ ?
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10. 12 − 3 + 1 = 10.
3. Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 2 et pour raison 3. Quelle est la somme de ses 10 premiers termes ?
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155. Le dernier terme est u₉ = 2 + 9 × 3 = 29, donc S = 10 × 31 ÷ 2 = 155.
4. Combien vaut 3 + 7 + 11 + … + 43 ?
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253. Il y a (43 − 3) ÷ 4 + 1 = 11 termes, donc S = 11 × 46 ÷ 2 = 253.
5. On pose uₙ = 5n − 1. Combien vaut u₁ + u₂ + … + u₂₀ ?
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1 030. u₁ = 4 et u₂₀ = 99. Il y a 20 termes, donc S = 20 × 103 ÷ 2 = 1 030.
6. Une salle compte 15 rangées. La première a 12 sièges et chaque rangée en a 2 de plus que la précédente. Combien de sièges y a-t-il en tout ?
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390. La dernière rangée a 12 + 14 × 2 = 40 sièges. S = 15 × (12 + 40) ÷ 2 = 390.
Questions fréquentes
Comment calculer la somme d’une suite arithmétique ?
Multiplie le nombre de termes par la somme du premier et du dernier terme, puis divise par 2.
Que vaut 1 + 2 + 3 + … + n ?
Cette somme vaut n(n + 1) ÷ 2. C’est la formule à connaître par cœur, dont toutes les autres se déduisent.
Comment trouver le nombre de termes d’une somme ?
Du rang p au rang n, il y a n − p + 1 termes. Si tu connais seulement les valeurs, calcule (dernier − premier) ÷ raison + 1.
Quelle est la formule pour une suite géométrique ?
Elle est différente. Pour q différent de 1, 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹) ÷ (1 − q).