L’essentiel
Un nombre appartient à un ou plusieurs ensembles emboîtés : N (entiers naturels), Z (entiers relatifs), D (décimaux), Q (rationnels) et R (réels). Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers, comme 2/3. Les nombres √2 et π sont réels, mais irrationnels.
Les cinq ensembles de nombres
Au collège et en seconde, tout nombre se range dans l’un de ces cinq ensembles. Chacun ajoute de nouveaux nombres au précédent : le rationnel 1/3, par exemple, n’existe ni dans N, ni dans Z, ni dans D.
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : chaque ensemble est inclus dans le suivant.
| Lettre | Nom | Contenu | Exemples |
|---|---|---|---|
| N | Entiers naturels | Les entiers positifs ou nuls | 0 ; 7 ; 120 |
| Z | Entiers relatifs | Les entiers positifs et négatifs | −4 ; 0 ; 15 |
| D | Décimaux | Les nombres a/10ⁿ, avec a entier relatif et n entier naturel | −2,5 ; 0,125 |
| Q | Rationnels | Les quotients a/b, avec a et b entiers, b non nul | 1/3 ; −5/7 |
| R | Réels | Toutes les abscisses de la droite numérique | √2 ; π |
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?
Un rationnel est un quotient de deux entiers. Son écriture décimale s’arrête, ou se répète à l’infini avec un motif périodique : 1/3 = 0,333… et 1/7 = 0,142857142857…
Un rationnel est décimal si et seulement si, une fois sa fraction irréductible, le dénominateur n’a que 2 et 5 comme facteurs premiers. Ainsi, 3/40 = 0,075 est décimal, car 40 = 2³ × 5. Mais 1/6 ne l’est pas, car 6 contient le facteur 3.
- Exemple résolu : écris x = 0,4545… sous forme de fraction.
- Étape 1 : le motif a deux chiffres, donc multiplie par 100. 100x = 45,4545…
- Étape 2 : soustrais pour supprimer les décimales. 100x − x = 45, donc 99x = 45.
- Étape 3 : divise et simplifie. x = 45/99 = 5/11.
Les nombres irrationnels
Un irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel : son écriture décimale ne s’arrête jamais et ne devient jamais périodique. C’est le cas de √2, de √3 et de π.
Toutes les racines ne sont pas irrationnelles : √16 = 4 est un entier et √(9/4) = 3/2 est rationnel.
- Pourquoi √2 est irrationnel. Suppose que √2 = a/b, avec a/b irréductible.
- En élevant au carré, a² = 2b². Donc a² est pair, et a aussi : a = 2k.
- On remplace : 4k² = 2b², soit b² = 2k². Donc b est pair lui aussi.
- a et b seraient tous les deux pairs, alors que a/b est irréductible : c’est impossible. Donc √2 n’est pas rationnel.
Trouver à quel ensemble appartient un nombre
- Étape 1 : simplifie le nombre. √49 devient 7, et −12/4 devient −3.
- Étape 2 : si c’est un entier, il est dans N s’il est positif ou nul, sinon dans Z.
- Étape 3 : sinon, cherche s’il a une écriture décimale qui s’arrête : il est alors dans D.
- Étape 4 : sinon, s’il s’écrit comme un quotient d’entiers, il est dans Q. Dans le cas contraire, il est seulement dans R.
| Nombre | Forme simplifiée | Plus petit ensemble |
|---|---|---|
| √49 | 7 | N |
| −12/4 | −3 | Z |
| −√16 | −4 | Z |
| 7/8 | 0,875 | D |
| 2/3 | 0,666… | Q |
| √5 | Ne se simplifie pas | R |
Astuce : Le symbole ∈ signifie « appartient à » : 7 ∈ N. Le symbole ∉ signifie « n’appartient pas à » : 1/3 ∉ D.
Les erreurs à éviter
0,333… est un nombre décimal 0,333… = 1/3 est rationnel, mais pas décimal
Un décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule.
√9 est irrationnel, car c’est une racine √9 = 3 est un entier
Simplifie toujours le nombre avant de le classer.
π = 3,14 π ≈ 3,14
π est irrationnel : 3,14 et 22/7 n’en sont que des valeurs approchées.
Un entier n’est pas un décimal Tout entier est décimal : 5 = 5,0
Les ensembles sont emboîtés : N et Z sont inclus dans D.
Exercices corrigés
1. Quel est le plus petit ensemble qui contient −8 ?
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Z. −8 est un entier négatif : il est dans Z, mais pas dans N.
2. Lequel de ces nombres n’est pas décimal ?
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2/3. 3/8 = 0,375 et 7/20 = 0,35, alors que 2/3 = 0,666… ne s’arrête pas.
3. À quel ensemble appartient √64 ?
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N. √64 = 8, un entier naturel. Il appartient donc à N, et aussi à tous les ensembles suivants.
4. Quelle affirmation est vraie ?
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Tout décimal est rationnel. D est inclus dans Q : 0,25 = 1/4 par exemple. L’inverse est faux : 1/3 est rationnel sans être décimal.
5. Quelle fraction est égale à 0,777… ?
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7/9. Si x = 0,777…, alors 10x − x = 7, donc 9x = 7 et x = 7/9.
6. Lequel de ces nombres est irrationnel ?
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√7. √(4/9) = 2/3, √0,25 = 0,5 et 22/7 est un quotient d’entiers. Seul √7 est irrationnel.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre rationnel ?
Un décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule. Un rationnel peut aussi avoir une écriture périodique sans fin, comme 1/3. Tout décimal est rationnel, mais l’inverse est faux.
Zéro appartient-il à N ?
Oui : en France, N contient 0. Il appartient donc aussi à Z, D, Q et R.
D’où viennent les lettres N, Z, D, Q et R ?
N vient de « naturel », Z de l’allemand Zahlen (« nombres »), D de « décimal », Q de « quotient » et R de « réel ».