L’essentiel
La racine carrée d’un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : √25 = 5, car 5² = 25. Elle n’existe pas pour un nombre négatif. Pour la simplifier, on fait sortir un carré parfait : √50 = √(25 × 2) = 5√2.
Ce que veut dire racine carrée
La racine carrée répond à la question : quel nombre positif, multiplié par lui-même, donne a ? C’est l’opération inverse du carré.
Le nombre −5 a lui aussi pour carré 25, mais √25 désigne uniquement la valeur positive : √25 = 5.
√a est le nombre positif tel que (√a)² = a, avec a ≥ 0.
| a | √a | a | √a |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 49 | 7 |
| 4 | 2 | 64 | 8 |
| 9 | 3 | 81 | 9 |
| 16 | 4 | 100 | 10 |
| 25 | 5 | 121 | 11 |
| 36 | 6 | 144 | 12 |
Comment calculer une racine carrée
Dans une réponse exacte, garde le symbole √. Écris une valeur décimale seulement si l’énoncé demande un arrondi.
- Si le nombre est un carré parfait, la valeur est exacte : √64 = 8.
- Sinon, encadre-le entre deux carrés parfaits : 36 < 40 < 49, donc 6 < √40 < 7.
- Pour une valeur approchée, utilise la calculatrice : √40 ≈ 6,32.
Les règles de calcul avec les racines
Pour a ≥ 0 et b > 0 : √(a × b) = √a × √b et √(a ÷ b) = √a ÷ √b. En général, √(a + b) n’est pas égal à √a + √b.
- √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6.
- √(16/25) = √16 ÷ √25 = 4/5.
- Contre-exemple : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
- Pour a ≥ 0 : (√a)² = a et √(a²) = a. Ainsi (√7)² = 7.
Simplifier une racine carrée
Simplifier, c’est écrire la racine sous la forme a√b, avec b le plus petit entier possible.
- Étape 1 : cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre. Pour 72, c’est 36.
- Étape 2 : écris le produit : √72 = √(36 × 2).
- Étape 3 : sépare les racines : √72 = √36 × √2 = 6√2.
- √48 = √(16 × 3) = 4√3.
- √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3 : on additionne comme avec 2x + 3x.
- 1/√2 = √2/2 : multiplie en haut et en bas par √2 pour retirer la racine du dénominateur.
À quoi sert la racine carrée
- Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle de côtés 5 cm et 7 cm, l’hypoténuse vaut √(25 + 49) = √74 ≈ 8,6 cm.
- Côté d’un carré : un carré d’aire 20 cm² a pour côté √20 = 2√5 ≈ 4,47 cm.
- Équation : pour a > 0, x² = a a deux solutions, √a et −√a. Ainsi, x² = 9 donne x = 3 ou x = −3.
Les erreurs à éviter
√(9 + 16) = 3 + 4 = 7 √(9 + 16) = √25 = 5
La racine d’une somme n’est pas la somme des racines : calcule d’abord sous le radical.
√36 = 6 ou −6 √36 = 6
Une racine carrée est toujours positive. C’est l’équation x² = 36 qui a deux solutions.
√16 = 8 √16 = 4
On ne divise pas par 2 : on cherche le nombre dont le carré vaut 16.
2√3 + 3√2 = 5√5 2√3 + 3√2 ne se simplifie pas
On n’additionne que des racines identiques, comme 2√3 + 5√3 = 7√3.
Exercices corrigés
1. Combien vaut √81 ?
Voir la correction
9. 9² = 81, et la racine carrée est positive.
2. Entre quels entiers consécutifs se trouve √50 ?
Voir la correction
7 et 8. 49 < 50 < 64, donc 7 < √50 < 8.
3. Combien vaut √(16 × 9) ?
Voir la correction
12. √16 × √9 = 4 × 3 = 12.
4. Simplifie √75.
Voir la correction
5√3. √75 = √(25 × 3) = 5√3.
5. Calcule √18 + √8.
Voir la correction
5√2. √18 = 3√2 et √8 = 2√2, donc la somme vaut 5√2.
6. Quelles sont les solutions de x² = 49 ?
Voir la correction
7 et −7. 7² = 49 et (−7)² = 49 : l’équation a deux solutions.
Questions fréquentes
Peut-on calculer la racine carrée d’un nombre négatif ?
Non : un carré est toujours positif ou nul, donc aucun nombre réel n’a pour carré un nombre négatif. La calculatrice affiche une erreur.
Combien vaut la racine carrée de 2 ?
√2 ≈ 1,414. Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne s’arrêtent jamais et ne se répètent pas.
A-t-on toujours √(a²) = a ?
Seulement si a est positif ou nul. Pour a négatif, √(a²) = −a : par exemple, √((−3)²) = √9 = 3.