L’essentiel
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13… Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur, et 2 est le seul nombre premier pair.
Nombre premier, diviseurs et PGCD
84 n’est pas un nombre premier.
Décomposition : 2 × 2 × 3 × 7
Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Nombre premier : la définition
Un nombre premier ne se divise exactement que par 1 et par lui-même. Tous les autres entiers supérieurs à 1 se décomposent en un produit de nombres premiers : ce sont les briques de base de la multiplication.
Un entier n est premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et n.
- 13 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 13.
- 15 n’est pas premier : 15 = 3 × 5, il a quatre diviseurs (1, 3, 5, 15).
- 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur. 0 ne l’est pas non plus.
La liste des nombres premiers jusqu’à 100
Il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100. On les trouve avec le crible d’Ératosthène : dans la grille de 2 à 100, on barre les multiples de 2, puis de 3, de 5 et de 7 (sauf ces nombres eux-mêmes). Ce qui reste est premier.
| Tranche | Nombres premiers |
|---|---|
| De 1 à 10 | 2, 3, 5, 7 |
| De 11 à 20 | 11, 13, 17, 19 |
| De 21 à 30 | 23, 29 |
| De 31 à 40 | 31, 37 |
| De 41 à 50 | 41, 43, 47 |
| De 51 à 60 | 53, 59 |
| De 61 à 70 | 61, 67 |
| De 71 à 80 | 71, 73, 79 |
| De 81 à 90 | 83, 89 |
| De 91 à 100 | 97 |
Astuce : Méfie-toi des faux premiers : 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29 et 91 = 7 × 13.
Comment savoir si un nombre est premier
Pour tester n, il suffit d’essayer les nombres premiers jusqu’à √n.
- Étape 1 : écarte les cas évidents. Un nombre pair, terminé par 5 ou dont la somme des chiffres est un multiple de 3 n’est pas premier (sauf 2, 3 et 5).
- Étape 2 : divise le nombre par les nombres premiers dans l’ordre : 7, 11, 13…
- Étape 3 : arrête-toi dès que le carré du diviseur dépasse le nombre. Si aucune division ne tombe juste, il est premier.
- 113 : √113 ≈ 10,6, donc on teste 2, 3, 5 et 7. Il est impair, ne finit pas par 5, 1 + 1 + 3 = 5 et 113 = 7 × 16 + 1. Il est premier.
- 119 : 119 = 7 × 17. Il n’est pas premier.
Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Si la division de b par a tombe juste, a est un diviseur de b, et b est un multiple de a. Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, cherche ses produits de deux facteurs : 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6.
| Multiple de | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 | 358 |
| 3 | La somme des chiffres est un multiple de 3 | 174 (1 + 7 + 4 = 12) |
| 5 | Le dernier chiffre est 0 ou 5 | 245 |
| 9 | La somme des chiffres est un multiple de 9 | 378 (3 + 7 + 8 = 18) |
| 10 | Le dernier chiffre est 0 | 640 |
- Diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6.
- Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Décomposer un nombre en facteurs premiers
Divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis recommence avec le quotient jusqu’à obtenir 1.
- 360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 2 × 3 × 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, soit 2³ × 3² × 5.
- PGCD de 84 et 90 : 84 = 2² × 3 × 7 et 90 = 2 × 3² × 5. Les facteurs communs sont 2 et 3, donc le PGCD vaut 6.
- Application : 84/90 = (84 ÷ 6)/(90 ÷ 6) = 14/15, une fraction irréductible.
Vérifier avec le calculateur
Saisis 360 dans « Nombre entier » : le calculateur indique qu’il n’est pas premier, affiche la décomposition 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 et la liste des diviseurs. Compare avec ton résultat.
Pour un PGCD, saisis 84 dans le premier champ et 90 dans « Deuxième nombre » : tu lis PGCD(84 ; 90) = 6. L’outil accepte les entiers de 2 à un milliard.
Les erreurs à éviter
1 est un nombre premier 1 n’est pas premier
Un nombre premier a exactement deux diviseurs, et 1 n’en a qu’un.
2 n’est pas premier, car il est pair 2 est premier
Ses seuls diviseurs sont 1 et 2. C’est le seul nombre premier pair.
51 est premier, car il est impair 51 = 3 × 17
Être impair ne suffit pas : 5 + 1 = 6 est un multiple de 3, donc 51 aussi.
Exercices corrigés
1. Lequel de ces nombres est premier ?
Voir la correction
29. 21 = 3 × 7, 27 = 3 × 9 et 33 = 3 × 11. Seul 29 n’a que 1 et 29 comme diviseurs.
2. Le nombre 1 est-il premier ?
Voir la correction
Non, il n’a qu’un seul diviseur. Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs.
3. Combien le nombre 18 a-t-il de diviseurs ?
Voir la correction
6. Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
4. Le nombre 87 est-il premier ?
Voir la correction
Non, 87 = 3 × 29. 8 + 7 = 15 est un multiple de 3, et 3 × 29 = 87. Le produit 7 × 13 vaut 91.
5. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 126 ?
Voir la correction
2 × 3² × 7. 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 3 × 7. Les facteurs 21 et 6 ne sont pas premiers, et 2² × 3 × 7 vaut 84.
6. Quel est le PGCD de 60 et 84 ?
Voir la correction
12. 60 = 2² × 3 × 5 et 84 = 2² × 3 × 7. Les facteurs communs donnent 2² × 3 = 12.
Questions fréquentes
Existe-t-il un plus grand nombre premier ?
Non. Euclide a démontré qu’il existe une infinité de nombres premiers : on en trouve toujours de plus grands.
Comment trouver un diviseur d’un nombre ?
Applique les critères de divisibilité, puis essaie de diviser par les petits nombres. Si la division tombe juste, le diviseur et le quotient sont deux diviseurs du nombre.
Quels sont les multiples de 9 ?
Ce sont 0, 9, 18, 27, 36, 45… Un nombre est un multiple de 9 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Pourquoi 2 est-il le seul nombre premier pair ?
Tout autre nombre pair est divisible par 2 : il a donc au moins trois diviseurs, 1, 2 et lui-même.