L’essentiel
Deux angles alternes-internes sont situés de part et d’autre d’une sécante, entre les deux droites qu’elle coupe. Si ces droites sont parallèles, ces angles sont égaux. Inversement, si deux angles alternes-internes sont égaux, les droites sont parallèles. La même règle vaut pour les angles correspondants.
Angles alternes-internes et angles correspondants
Les angles alternes-internes apparaissent quand deux droites (d) et (d′) sont coupées par une troisième droite (s), la sécante. Il se forme alors huit angles, et certains vont par paires.
Deux angles alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante et entre les deux droites. Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un entre les droites et l’autre à l’extérieur.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux et les angles correspondants sont égaux.
Astuce : Les angles alternes-internes dessinent un Z entre les droites, et les angles correspondants un F. Cherche ces lettres, même penchées ou à l’envers.
Rédiger avec les angles alternes-internes
- Étape 1 : cite les deux droites parallèles et la sécante.
- Étape 2 : nomme la nature de la paire d’angles.
- Étape 3 : conclus sur l’égalité, puis calcule.
- Énoncé. (d) et (d′) sont parallèles et coupées par (s). Un angle mesure 58°. Combien mesure son alterne-interne, et l’angle qui lui est adjacent sur (d′) ?
- Les droites (d) et (d′) sont parallèles et coupées par la sécante (s).
- Or, deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles sont égaux. L’angle cherché mesure donc 58°.
- L’angle adjacent forme avec lui un angle plat, donc il mesure 180° − 58° = 122°.
Prouver que deux droites sont parallèles
La propriété marche dans les deux sens. Tu peux partir d’une égalité d’angles pour démontrer un parallélisme.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles.
- Deux angles alternes-internes mesurent 72° et 72° : les droites sont parallèles.
- Deux angles alternes-internes mesurent 71° et 72° : ils ne sont pas égaux, donc les droites ne sont pas parallèles.
Le vocabulaire des angles
- Angles complémentaires : leur somme vaut 90°.
- Angles supplémentaires : leur somme vaut 180°.
- Angles adjacents : ils ont le même sommet, un côté commun, et sont de part et d’autre de ce côté.
- Angles opposés par le sommet : ils sont formés par deux droites sécantes et sont égaux.
- Bissectrice : la demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux.
| Nom | Mesure |
|---|---|
| Angle nul | 0° |
| Angle aigu | Entre 0° et 90° |
| Angle droit | 90° |
| Angle obtus | Entre 90° et 180° |
| Angle plat | 180° |
La somme des angles d’un triangle
Cette propriété se démontre justement avec les angles alternes-internes, en traçant la parallèle à un côté passant par le sommet opposé : les trois angles se retrouvent alignés et forment un angle plat.
Dans un triangle, la somme des trois angles vaut 180°.
- Énoncé. Dans le triangle ABC, l’angle A mesure 47° et l’angle B mesure 68°. Calculer l’angle C.
- La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc C = 180° − (47° + 68°) = 180° − 115° = 65°.
- Un triangle avec un angle droit est un triangle rectangle : ses deux autres angles ont pour somme 90°.
Les erreurs à éviter
Les angles alternes-internes sont toujours égaux Ils sont égaux si les droites sont parallèles
Sans parallélisme, deux angles en position alterne-interne ont en général des mesures différentes.
Confondre complémentaires et supplémentaires Complémentaires : 90°. Supplémentaires : 180°
Deux angles complémentaires complètent un angle droit. Deux angles supplémentaires forment un angle plat.
Deux angles adjacents sont égaux Adjacent décrit une position, pas une mesure
Deux angles adjacents peuvent avoir n’importe quelles mesures.
Exercices corrigés
1. Un angle mesure 125°. Quelle est sa nature ?
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Obtus. 125° est compris entre 90° et 180° : l’angle est obtus.
2. Quel est le complémentaire d’un angle de 35° ?
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55°. Deux angles complémentaires ont pour somme 90° : 90° − 35° = 55°.
3. Dans un triangle, deux angles mesurent 52° et 71°. Combien mesure le troisième ?
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57°. 180° − (52° + 71°) = 180° − 123° = 57°.
4. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure 64°. Combien mesure son alterne-interne ?
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64°. Avec des droites parallèles, les angles alternes-internes sont égaux.
5. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Deux angles sont situés entre les droites, du même côté de la sécante. L’un mesure 115°. Combien mesure l’autre ?
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65°. L’alterne-interne du premier mesure 115° et il est adjacent à l’angle cherché sur une droite : 180° − 115° = 65°.
6. Deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de 73° et 74°. Que peut-on dire ?
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Elles ne sont pas parallèles. Si elles étaient parallèles, les deux angles seraient égaux. Ils ne le sont pas : elles ne sont pas parallèles.
Questions fréquentes
Comment reconnaître des angles alternes-internes ?
Ils sont entre les deux droites et de part et d’autre de la sécante. Ils ne sont pas adjacents et dessinent la forme d’un Z.
Quelle différence entre angles alternes-internes et correspondants ?
Les alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante, tous deux entre les droites. Les correspondants sont du même côté de la sécante, l’un entre les droites, l’autre à l’extérieur.
Quelle est la somme des angles d’un triangle ?
Elle vaut 180° dans tous les triangles, quelle que soit leur forme.