Cercle trigonométrique et trigonométrie : SOHCAHTOA, cosinus, sinus

Cosinus, sinus, tangente : les formules

La trigonométrie relie les angles et les longueurs. Au collège, elle se fait dans le triangle rectangle ; au lycée, elle passe au cercle trigonométrique, qui donne un sens au cosinus et au sinus de n’importe quel angle.

Pour un angle aigu d’un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, le côté opposé fait face à l’angle, et le côté adjacent touche l’angle sans être l’hypoténuse.

SOH : Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse. CAH : Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse. TOA : Tangente = Opposé ÷ Adjacent.

Astuce : Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, car l’hypoténuse est le plus grand côté. Si tu trouves plus de 1, tu as inversé le rapport.

Comment calculer une longueur dans un triangle rectangle

• Étape 1 : à partir de l’angle connu, nomme l’hypoténuse, l’opposé et l’adjacent.
• Étape 2 : choisis le rapport qui contient le côté connu et le côté cherché.
• Étape 3 : écris l’égalité avec les lettres, puis remplace.
• Étape 4 : isole la longueur et calcule, calculatrice en mode degrés.

• Énoncé 1. ABC est rectangle en A, l’angle ABC mesure 40° et BC = 12 cm. Calculer AB, arrondi au dixième.
• Dans le triangle ABC rectangle en A : cos(ABC) = AB/BC.
• cos(40°) = AB/12, donc AB = 12 × cos(40°) ≈ 9,2 cm.
• Énoncé 2. DEF est rectangle en E, l’angle EDF mesure 28° et DE = 7 cm. Calculer l’hypoténuse DF, arrondie au dixième.
• Dans le triangle DEF rectangle en E : cos(EDF) = DE/DF.
• cos(28°) = 7/DF, donc DF = 7 ÷ cos(28°) ≈ 7,9 cm.

Comment calculer un angle avec la trigonométrie

Tu connais deux côtés : tu calcules le rapport, puis tu utilises la touche réciproque de la calculatrice (Arccos, Arcsin, Arctan, souvent notées cos⁻¹, sin⁻¹, tan⁻¹).

• Énoncé. GHI est rectangle en H, avec GH = 5 cm et HI = 8 cm. Calculer l’angle HGI, arrondi au degré.
• Pour l’angle HGI, [HI] est le côté opposé et [GH] le côté adjacent.
• Dans le triangle GHI rectangle en H : tan(HGI) = HI/GH = 8/5 = 1,6.
• À la calculatrice, angle HGI ≈ 58°.

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1 et pour centre l’origine d’un repère orthonormé. On le parcourt dans le sens direct, inverse des aiguilles d’une montre. À un angle x correspond un point M : son abscisse est cos x et son ordonnée est sin x.

Au lycée, les angles se mesurent en radians : π radians valent 180°. Pour passer des degrés aux radians, multiplie par π puis divise par 180.

Pour tout réel x : cos²x + sin²x = 1, et −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1.

• Symétrie par rapport à l’axe des abscisses : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x.
• Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x.
• Symétrie par rapport à l’origine : cos(π + x) = −cos x et sin(π + x) = −sin x.
• Exemple. 2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −1/2 et sin(2π/3) = √3/2.

Vérifier ton résultat avec le calculateur

Le calculateur en haut de la page travaille en degrés et affiche la formule utilisée.

• Pour une longueur : choisis « une longueur », le rapport, puis saisis l’angle et le côté du dénominateur. Avec cosinus, 40 et 12, il affiche l’adjacent, environ 9,193.
• Pour une hypoténuse trouvée par division : saisis l’angle et ton hypoténuse. Si l’outil redonne le côté de départ, ton calcul est bon : 28 et 7,928 redonnent environ 7.
• Pour un angle : choisis « un angle », le rapport, puis saisis les deux côtés. Avec tangente, 8 et 5, il affiche environ 57,99°.

1. 1. ABC est rectangle en A. Que vaut cos(ABC) ?

   AC/BCAB/BCAB/ACBC/AB
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   AB/BC. Pour l’angle en B, [AB] est le côté adjacent et [BC] l’hypoténuse.

2. 2. Que vaut sin(30°) ?

   √3/2√2/21/21
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   1/2. C’est une valeur remarquable : sin(30°) = 1/2. La valeur √3/2 est celle de cos(30°).

3. 3. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 20 cm et un angle aigu de 30°. Combien mesure le côté opposé à cet angle ?

   10 cm17,3 cm11,5 cm40 cm
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   10 cm. sin(30°) = opposé/20, donc opposé = 20 × 0,5 = 10 cm.

4. 4. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit mesurent 6 cm. Combien mesure chaque angle aigu ?

   30°60°90°45°
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   45°. tan = 6/6 = 1, et tan(45°) = 1. Le triangle est isocèle rectangle.

5. 5. Le côté adjacent à un angle mesure 4 cm et l’hypoténuse 9 cm. Quelle est la mesure de l’angle, arrondie au degré ?

   26°24°64°66°
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   64°. cos(angle) = 4/9, donc angle ≈ 63,6°, soit 64°. Les autres réponses viennent d’un mauvais rapport : sinus ou tangente.

6. 6. Que vaut cos(5π/6) ?

   √3/2−√3/2−1/21/2
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   −√3/2. 5π/6 = π − π/6, donc cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.