L’essentiel
Le théorème de Thalès dit que, si deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles (BC) et (MN), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Il sert à calculer une longueur. Sa réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.
Calculateur du théorème de Thalès
AM/AB = AN/AC, donc AN = AM × AC ÷ AB = 3 × 8 ÷ 6
AN = 4
La formule du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès compare deux triangles dont les côtés sont parallèles deux à deux : l’un est un agrandissement de l’autre, donc leurs longueurs sont proportionnelles.
Il s’applique dans deux configurations. Dans la première, M et N sont sur les côtés du triangle ABC : les triangles sont emboîtés. Dans la seconde, les droites se croisent en A et les triangles sont de part et d’autre : c’est le « papillon ».
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et si (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
| Tu veux | Tu disposes de | Outil |
|---|---|---|
| Calculer une longueur | Deux droites sécantes et deux droites parallèles | Théorème de Thalès |
| Prouver un parallélisme | Des longueurs et des points alignés dans le même ordre | Réciproque de Thalès |
| Prouver un non-parallélisme | Des rapports différents | Contraposée de Thalès |
Astuce : Chaque rapport se lit « petit triangle sur grand triangle », et chaque numérateur correspond à son dénominateur : AM face à AB, AN face à AC, MN face à BC.
Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès
- Étape 1 : cite les droites sécantes, leur point d’intersection et les droites parallèles.
- Étape 2 : écris les trois rapports avec les lettres.
- Étape 3 : remplace par les longueurs connues.
- Étape 4 : garde deux rapports, dont celui de l’inconnue, et fais un produit en croix.
- Étape 5 : conclus avec l’unité.
- Énoncé. M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) est parallèle à (BC). AM = 4 cm, AB = 10 cm, AC = 7,5 cm et BC = 9 cm. Calculer AN et MN.
- Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
- D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- On remplace : 4/10 = AN/7,5 = MN/9.
- Donc AN = 4 × 7,5 ÷ 10 = 3 cm et MN = 4 × 9 ÷ 10 = 3,6 cm.
Exemple dans la configuration papillon
La rédaction est la même : A reste le point commun, et les longueurs se mesurent toujours à partir de A.
- Énoncé. Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, entre B et M. (BC) et (MN) sont parallèles. AB = 6 cm, AC = 8 cm, AM = 3 cm et BC = 5 cm. Calculer AN et MN.
- D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- On remplace : 3/6 = AN/8 = MN/5.
- Donc AN = 3 × 8 ÷ 6 = 4 cm et MN = 3 × 5 ÷ 6 = 2,5 cm.
La réciproque du théorème de Thalès
Tu connais quatre longueurs et tu veux savoir si deux droites sont parallèles. Tu compares alors deux rapports seulement, ceux qui partent de A.
Si A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) et (BC) sont parallèles.
- Énoncé. A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C. AM = 2,4 cm, AB = 6 cm, AN = 3,2 cm et AC = 8 cm. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
- D’une part, AM/AB = 2,4/6 = 0,4. D’autre part, AN/AC = 3,2/8 = 0,4.
- Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) et (BC) sont parallèles.
- Contre-exemple. Avec AM = 3, AB = 7, AN = 4 et AC = 9 : 3 × 9 = 27 et 7 × 4 = 28. Les produits en croix diffèrent, donc les rapports aussi : les droites ne sont pas parallèles.
Astuce : Quand les quotients ne tombent pas juste, compare les produits en croix : c’est exact et évite les arrondis.
Vérifier ton résultat avec le calculateur
Le calculateur en haut de la page applique AN = AM × AC ÷ AB et affiche le calcul. Il sert à contrôler n’importe quel rapport, pas seulement AN.
- Pour AN : saisis AM, AB et AC. Avec 4, 10 et 7,5, il affiche 3.
- Pour MN : mets la longueur BC dans le champ AC. Avec 4, 10 et 9, le résultat 3,6 est MN, même si l’outil l’appelle AN.
- Pour une réciproque : saisis AM, AB et AC. Si le résultat est exactement ton AN, les rapports sont égaux.
Les erreurs à éviter
AM/MB = AN/NC = MN/BC AM/AB = AN/AC = MN/BC
Les longueurs se mesurent depuis le point A. Le rapport AM/MB ne compare pas deux côtés des triangles, et il ne peut pas être égal à MN/BC.
AM/AB = AC/AN AM/AB = AN/AC
Garde le même sens dans tous les rapports : petit triangle en haut, grand triangle en bas.
Utiliser MN/BC dans une réciproque Comparer seulement AM/AB et AN/AC
La réciproque n’utilise que les longueurs mesurées depuis A sur les deux droites sécantes.
Oublier de citer l’alignement dans la réciproque Écrire « alignés dans le même ordre »
Sans cette condition, l’égalité des rapports ne suffit pas à conclure.
Exercices corrigés
1. M est sur [AB], N est sur [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Quelle égalité est vraie ?
Voir la correction
AM/AB = AN/AC = MN/BC. Les trois rapports comparent le petit triangle AMN au grand triangle ABC, dans le même sens.
2. Dans cette configuration, AM = 3 cm, AB = 9 cm et AC = 12 cm. Combien mesure AN ?
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4 cm. AM/AB = AN/AC donne AN = 3 × 12 ÷ 9 = 36 ÷ 9 = 4 cm. Le piège 36 oublie de diviser.
3. Toujours dans cette configuration, AM = 5 cm, AB = 8 cm et BC = 12 cm. Combien mesure MN ?
Voir la correction
7,5 cm. AM/AB = MN/BC donne MN = 5 × 12 ÷ 8 = 60 ÷ 8 = 7,5 cm.
4. Les droites (BM) et (CN) se coupent en A, et (BC) et (MN) sont parallèles. AB = 4 cm, AM = 6 cm et BC = 3 cm. Combien mesure MN ?
Voir la correction
4,5 cm. AM/AB = MN/BC donne MN = 6 × 3 ÷ 4 = 4,5 cm. Le triangle AMN est ici le plus grand : 2 cm serait le rapport inversé.
5. A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, N, C. AM = 4, AB = 9, AN = 5 et AC = 11. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Voir la correction
Non, car 4 × 11 ≠ 9 × 5. 4 × 11 = 44 et 9 × 5 = 45. Les rapports sont différents : les droites ne sont pas parallèles. Une quasi-égalité ne prouve rien.
6. Au même moment, un bâton vertical de 1,5 m a une ombre de 2 m et un arbre a une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Voir la correction
9 m. Les rayons du soleil sont parallèles : hauteur/1,5 = 12/2, donc hauteur = 1,5 × 12 ÷ 2 = 9 m.
Questions fréquentes
Comment calculer avec le théorème de Thalès ?
Vérifie qu’il y a deux droites sécantes et deux droites parallèles, écris les trois rapports, remplace par les longueurs connues, puis fais un produit en croix sur les deux rapports utiles.
Quand utiliser le théorème de Thalès ?
Quand une figure contient deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles et que tu cherches une longueur. Si le triangle est rectangle sans parallèles, pense plutôt à Pythagore.
Quelle différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Le théorème part de droites parallèles pour calculer une longueur. La réciproque part de longueurs pour prouver que deux droites sont parallèles.
Le théorème de Thalès est-il au programme de 4e ou de 3e ?
La 4e travaille les triangles et les droites parallèles, et la 3e traite le théorème de Thalès avec sa réciproque, y compris en configuration papillon.