L’essentiel
La définition du parallélogramme est simple : c’est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses côtés opposés sont aussi de même longueur, ses diagonales se coupent en leur milieu et ses angles opposés sont égaux. Son aire vaut base × hauteur.
Définition du parallélogramme et propriétés
La définition du parallélogramme tient en une phrase : ABCD est un parallélogramme si (AB) est parallèle à (DC) et si (AD) est parallèle à (BC). Les lettres se lisent dans l’ordre du tour de la figure.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et les côtés opposés ont la même longueur.
- Côtés : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
- Diagonales : elles ont le même milieu, sans être en général de même longueur ni perpendiculaires.
- Angles : les angles opposés sont égaux, et deux angles consécutifs ont pour somme 180°.
- Symétrie : le point d’intersection des diagonales est un centre de symétrie. Il n’y a pas d’axe de symétrie dans le cas général.
Comment démontrer un parallélogramme
Pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, choisis la propriété qui correspond aux données de l’énoncé.
- Étape 1 : écris ce que tu sais, avec les données de l’énoncé.
- Étape 2 : cite la propriété sous la forme « Si un quadrilatère a…, alors c’est un parallélogramme ».
- Étape 3 : conclus en nommant le quadrilatère dans le bon ordre.
| Hypothèse | Données utiles |
|---|---|
| Ses côtés opposés parallèles deux à deux | Des droites parallèles (définition) |
| Ses diagonales qui se coupent en leur milieu | Un point milieu commun |
| Ses côtés opposés de même longueur deux à deux | Quatre longueurs |
| Deux côtés opposés parallèles et de même longueur | Une paire de côtés seulement |
| Ses angles opposés égaux deux à deux | Des mesures d’angles |
- Énoncé. Les segments [EG] et [FH] se coupent en I. IE = IG = 3 cm et IF = IH = 4,5 cm. Montrer que EFGH est un parallélogramme.
- I appartient à [EG] et IE = IG, donc I est le milieu de [EG].
- I appartient à [FH] et IF = IH, donc I est le milieu de [FH].
- Les diagonales [EG] et [FH] de EFGH se coupent en leur milieu.
- Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc EFGH est un parallélogramme.
Les parallélogrammes particuliers
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes qui ont une propriété de plus. C’est ce qu’on cherche quand un énoncé demande la nature d’un parallélogramme.
| Si le parallélogramme a… | Alors c’est un |
|---|---|
| Un angle droit | Rectangle |
| Des diagonales de même longueur | Rectangle |
| Deux côtés consécutifs de même longueur | Losange |
| Des diagonales perpendiculaires | Losange |
| Un angle droit et deux côtés consécutifs égaux | Carré |
| Des diagonales de même longueur et perpendiculaires | Carré |
Surface d’un parallélogramme et angles
L’aire se calcule avec la hauteur, perpendiculaire à la base, et non avec le côté penché. Découpe un triangle sur un bord et replace-le de l’autre : tu obtiens un rectangle de même aire.
Aire du parallélogramme = base × hauteur. Périmètre = 2 × (grand côté + petit côté).
- Base de 7 cm, hauteur de 4 cm, côté penché de 5 cm : aire = 7 × 4 = 28 cm², périmètre = 2 × (7 + 5) = 24 cm.
- Si l’angle A mesure 65°, alors l’angle C mesure aussi 65°, et les angles B et D mesurent 180° − 65° = 115°.
Astuce : Pour vérifier une aire, ouvre le calculateur de la page périmètre et aire, choisis « Rectangle » et saisis la base et la hauteur : les deux aires sont données par la même multiplication.
Les erreurs à éviter
Aire = base × côté penché Aire = base × hauteur
Le côté penché est plus long que la hauteur : il donnerait une aire trop grande.
Les diagonales d’un parallélogramme sont égales Elles se coupent en leur milieu
L’égalité des diagonales est une propriété du rectangle, pas de tout parallélogramme.
Le parallélogramme ABDC Le parallélogramme ABCD, si les sommets se suivent ainsi
L’ordre des lettres suit le contour. Changer l’ordre change les côtés et les diagonales.
Exercices corrigés
1. ABCD est un parallélogramme avec AB = 7 cm. Combien mesure CD ?
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7 cm. Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur, et [CD] est opposé à [AB].
2. Dans le parallélogramme ABCD, l’angle A mesure 70°. Combien mesure l’angle B ?
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110°. A et B sont consécutifs, leur somme vaut 180° : 180° − 70° = 110°.
3. Les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en O et AC = 10 cm. Combien mesure OA ?
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5 cm. Les diagonales se coupent en leur milieu, donc OA = AC ÷ 2 = 5 cm.
4. Un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires. Quelle est sa nature ?
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Un losange. Un parallélogramme aux diagonales perpendiculaires est un losange.
5. Un parallélogramme a ses diagonales de même longueur. Quelle est sa nature ?
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Un rectangle. Des diagonales égales donnent un rectangle. Il faudrait aussi qu’elles soient perpendiculaires pour avoir un carré.
6. Un parallélogramme a une base de 9 cm, une hauteur de 5 cm et un côté penché de 6 cm. Quelle est son aire ?
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45 cm². Aire = base × hauteur = 9 × 5 = 45 cm². Le côté de 6 cm ne sert pas : c’est le piège.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un parallélogramme ?
C’est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Le rectangle, le losange et le carré en sont des cas particuliers.
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme ?
Le plus souvent, on montre que ses diagonales ont le même milieu, ou que deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Choisis selon les données.
Un rectangle est-il un parallélogramme ?
Oui, car ses côtés opposés sont parallèles. Le rectangle a en plus quatre angles droits. L’inverse est faux.
Quelle est la règle du parallélogramme pour les vecteurs ?
Pour additionner deux vecteurs de même origine, on construit le parallélogramme qu’ils définissent : la somme est le vecteur porté par sa diagonale.