L’essentiel
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur et ses trois angles égaux à 60°. Si son côté mesure c, sa hauteur vaut c × √3 ÷ 2 et son aire vaut c² × √3 ÷ 4. Il possède trois axes de symétrie.
Calculateur de périmètre et d’aire
Périmètre = 2 × (L + l) ≈ 26
Aire = L × l ≈ 40
Définition et propriétés du triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles sont égaux et la somme des angles d’un triangle vaut 180° : chacun mesure donc 180° ÷ 3 = 60°.
Côté c : périmètre = 3 × c, hauteur = c × √3 ÷ 2, aire = c² × √3 ÷ 4.
- Les trois hauteurs sont aussi médianes, médiatrices et bissectrices.
- Ces trois droites sont ses trois axes de symétrie.
- Elles se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit.
- Il n’a pas de centre de symétrie.
Prouver qu’un triangle est équilatéral
| Tu sais que | Conclusion |
|---|---|
| Les trois côtés sont égaux | Le triangle est équilatéral (définition) |
| Deux angles mesurent 60° | Le troisième aussi : le triangle est équilatéral |
| Il est isocèle avec un angle de 60° | Les trois angles valent 60° : le triangle est équilatéral |
Astuce : Pour le construire, trace un côté, puis deux arcs de même rayon depuis ses extrémités, avec le compas réglé sur la longueur du côté. Le point d’intersection est le troisième sommet.
Calculer la hauteur d’un triangle équilatéral
La hauteur coupe le côté en son milieu et forme deux triangles rectangles. Il suffit d’appliquer Pythagore, avec c pour hypoténuse et c ÷ 2 pour petit côté.
- Étape 1 : nomme H le pied de la hauteur, qui est le milieu du côté.
- Étape 2 : applique Pythagore dans le triangle rectangle obtenu.
- Étape 3 : garde la valeur exacte avec √, puis arrondis à la fin.
- Énoncé. ABC est équilatéral de côté 6 cm. H est le pied de la hauteur issue de A. Calculer AH, puis l’aire de ABC.
- ABC est équilatéral, donc H est le milieu de [BC] : BH = 3 cm.
- Le triangle ABH est rectangle en H, donc d’après le théorème de Pythagore : AH² = AB² − BH² = 36 − 9 = 27.
- AH = √27 = 3√3 ≈ 5,2 cm.
- Aire = BC × AH ÷ 2 = 6 × 3√3 ÷ 2 = 9√3 ≈ 15,6 cm².
Aire d’un triangle équilatéral : d’où vient la formule
Pour un côté c, le calcul précédent donne h² = c² − (c ÷ 2)² = 3c² ÷ 4, donc h = c × √3 ÷ 2. L’aire vaut alors c × h ÷ 2, c’est-à-dire c² × √3 ÷ 4.
| Côté | Périmètre | Hauteur | Aire |
|---|---|---|---|
| 2 cm | 6 cm | √3 ≈ 1,73 cm | √3 ≈ 1,73 cm² |
| 4 cm | 12 cm | 2√3 ≈ 3,46 cm | 4√3 ≈ 6,93 cm² |
| 6 cm | 18 cm | 3√3 ≈ 5,20 cm | 9√3 ≈ 15,59 cm² |
| 10 cm | 30 cm | 5√3 ≈ 8,66 cm | 25√3 ≈ 43,30 cm² |
Astuce : Pour vérifier une aire, choisis « Triangle » dans le calculateur en haut de la page et saisis le côté comme base, puis ta hauteur arrondie : 6 et 5,196 donnent environ 15,588.
Le demi-triangle équilatéral et les angles de 30° et 60°
La hauteur coupe le triangle en deux triangles rectangles dont les angles mesurent 90°, 60° et 30°. Pour un côté c, l’hypoténuse vaut c, le petit côté c ÷ 2 et le dernier côté c × √3 ÷ 2. Ce demi-triangle explique les valeurs exactes de la trigonométrie.
- cos(60°) = (c ÷ 2) ÷ c = 1/2.
- sin(60°) = (c × √3 ÷ 2) ÷ c = √3/2.
- tan(60°) = (c × √3 ÷ 2) ÷ (c ÷ 2) = √3.
- Dans ce demi-triangle, le côté opposé à l’angle de 30° mesure la moitié de l’hypoténuse.
Les erreurs à éviter
h = c ÷ 2 h = c × √3 ÷ 2
La moitié du côté est le segment BH, pas la hauteur. La hauteur vaut environ 0,87 fois le côté.
Aire = c² ÷ 2 Aire = c² × √3 ÷ 4
La formule c² ÷ 2 est celle du triangle rectangle isocèle.
Arrondir √27 dès la première ligne Garder 3√3 jusqu’au bout
Arrondir trop tôt fausse le résultat final. Arrondis une seule fois, à la fin.
Exercices corrigés
1. Combien mesure chaque angle d’un triangle équilatéral ?
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60°. Les trois angles sont égaux et leur somme vaut 180°, donc chacun mesure 60°.
2. Un triangle équilatéral a un périmètre de 27 cm. Combien mesure son côté ?
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9 cm. Périmètre = 3 × c, donc c = 27 ÷ 3 = 9 cm.
3. Quelle est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 4 cm ?
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2√3 cm. h = 4 × √3 ÷ 2 = 2√3 ≈ 3,46 cm. On retrouve h² = 16 − 4 = 12, et √12 = 2√3.
4. Quelle est l’aire d’un triangle équilatéral de côté 10 cm, au dixième près ?
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43,3 cm². Aire = 10² × √3 ÷ 4 = 25√3 ≈ 43,3 cm².
5. ABC est isocèle en A et l’angle BAC mesure 60°. Quelle est sa nature ?
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Équilatéral. Les angles à la base valent (180° − 60°) ÷ 2 = 60°. Les trois angles sont égaux : le triangle est équilatéral.
6. La hauteur d’un triangle équilatéral mesure 6√3 cm. Combien mesure son côté ?
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12 cm. c × √3 ÷ 2 = 6√3 donne c ÷ 2 = 6, donc c = 12 cm.
Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un triangle équilatéral ?
Applique aire = c² × √3 ÷ 4, où c est le côté. Tu peux aussi calculer la hauteur avec Pythagore, puis utiliser base × hauteur ÷ 2.
Comment calculer la hauteur d’un triangle équilatéral ?
Multiplie le côté par √3 puis divise par 2. Pour un côté de 6 cm, la hauteur vaut 3√3, soit environ 5,2 cm.
Quelle est la différence entre un triangle isocèle et un triangle équilatéral ?
Le triangle isocèle a au moins deux côtés égaux, le triangle équilatéral en a trois. Tout triangle équilatéral est donc isocèle, mais l’inverse est faux.