L’essentiel
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Son plus grand côté, opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse. Ses deux angles aigus ont pour somme 90°, et son aire vaut le produit des deux côtés de l’angle droit, divisé par 2.
Calculateur du théorème de Pythagore
Hypoténuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Hypoténuse = √25 ≈ 5
Les propriétés du triangle rectangle
Le triangle rectangle est le triangle le plus utilisé en géométrie : un seul angle droit donne accès à Pythagore, à la trigonométrie et à une formule d’aire très simple.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90°.
- Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long.
- Aire : les deux côtés de l’angle droit sont base et hauteur, donc aire = côté × côté ÷ 2.
- Cercle circonscrit : son centre est le milieu de l’hypoténuse, qui en est un diamètre.
- Médiane : celle qui part de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.
Comment reconnaître un triangle rectangle
Une figure à main levée ou une mesure à l’équerre ne prouvent rien. Il faut une raison mathématique, et le choix dépend des données de l’énoncé.
| Tu connais | Tu utilises |
|---|---|
| Les trois longueurs | La réciproque du théorème de Pythagore |
| Deux angles | La somme des angles : le troisième vaut 180° moins les deux autres |
| Deux droites perpendiculaires | La définition : les côtés forment un angle droit |
| Un cercle de diamètre [AB] et un point C du cercle | Le triangle ABC est rectangle en C |
Calcul d’un côté de triangle rectangle : quel outil choisir
Tout dépend de ce que tu connais. Regarde les données avant de calculer.
| Données | Recherche | Outil |
|---|---|---|
| Deux côtés | Le troisième côté | Théorème de Pythagore |
| Un côté et un angle aigu | Un autre côté | Cosinus, sinus ou tangente |
| Deux côtés | Un angle aigu | Cosinus, sinus ou tangente, puis la touche réciproque |
| Un angle aigu | L’autre angle aigu | 90° moins l’angle connu |
| Les deux côtés de l’angle droit | L’aire | Produit des côtés ÷ 2 |
Exemples résolus de calcul dans un triangle rectangle
- Énoncé 1. ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC, l’aire, puis l’angle ABC au degré près.
- Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, d’où BC = 10 cm.
- Aire = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm².
- tan(ABC) = AC/AB = 8/6, donc l’angle ABC mesure environ 53°.
- L’angle ACB mesure alors environ 90° − 53° = 37°.
- Énoncé 2, calcul de longueur avec un angle. RST est rectangle en S, l’angle SRT mesure 52° et RS = 4 cm. Calculer ST au dixième.
- tan(SRT) = ST/RS, donc ST = 4 × tan(52°) ≈ 5,1 cm.
Astuce : L’aire donne aussi la hauteur issue de l’angle droit : dans l’énoncé 1, 24 = 10 × h ÷ 2, donc h = 4,8 cm.
Vérifier avec le calculateur
- Le calculateur en haut de la page donne le troisième côté : saisis 6 et 8 pour retrouver 100 et 10.
- Si tu cherches un côté de l’angle droit, choisis « un côté de l’angle droit » et mets l’hypoténuse en premier.
- Pour un calcul avec un angle, va sur la page de trigonométrie : son calculateur donne longueurs et angles.
Les erreurs à éviter
Aire = hypoténuse × côté ÷ 2 Aire = côté de l’angle droit × côté de l’angle droit ÷ 2
La hauteur doit être perpendiculaire à la base. L’hypoténuse n’est pas perpendiculaire aux autres côtés.
Le triangle a l’air rectangle, donc il l’est Le démontrer avec une propriété
Une impression visuelle ne vaut pas preuve, même avec des longueurs proches.
Utiliser Pythagore pour calculer un angle Utiliser cosinus, sinus ou tangente
Le théorème de Pythagore ne fait intervenir que des longueurs. Seule la trigonométrie relie longueurs et angles.
Exercices corrigés
1. Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure 37°. Combien mesure l’autre ?
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53°. Les angles aigus sont complémentaires : 90° − 37° = 53°.
2. Les côtés de l’angle droit mesurent 7 cm et 10 cm. Quelle est l’aire ?
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35 cm². Aire = 7 × 10 ÷ 2 = 35 cm². Le piège 70 oublie la division par 2, et 34 est le périmètre d’un rectangle.
3. L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 13 cm. Combien mesure la médiane issue de l’angle droit ?
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6,5 cm. Cette médiane vaut toujours la moitié de l’hypoténuse : 13 ÷ 2 = 6,5 cm.
4. C est un point du cercle de diamètre [AB], différent de A et de B. Que peut-on dire du triangle ABC ?
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Il est rectangle en C. Un triangle dont un côté est un diamètre du cercle circonscrit est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.
5. Tu connais un angle aigu et l’hypoténuse. Comment calculer un côté de l’angle droit ?
Voir la correction
Avec cosinus ou sinus. Il manque une deuxième longueur pour Pythagore. Le cosinus ou le sinus relient l’angle, l’hypoténuse et le côté cherché.
6. L’hypoténuse mesure 10 cm et un autre côté 5 cm. Combien mesure l’angle opposé à ce côté ?
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30°. sin(angle) = 5/10 = 1/2, et sin(30°) = 1/2. L’angle mesure 30°.
Questions fréquentes
Comment calculer un côté d’un triangle rectangle ?
Avec deux côtés connus, utilise le théorème de Pythagore. Avec un côté et un angle aigu, utilise le cosinus, le sinus ou la tangente.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
Multiplie les longueurs des deux côtés de l’angle droit et divise par 2. L’hypoténuse n’intervient pas dans ce calcul.
Un triangle rectangle peut-il être isocèle ?
Oui : si les deux côtés de l’angle droit ont la même longueur, le triangle est rectangle et isocèle, et ses angles aigus mesurent 45°.