L’essentiel
La symétrie centrale de centre O envoie un point A sur le point A′ tel que O soit le milieu de [AA′] : c’est un demi-tour autour de O. La symétrie axiale d’axe (d) envoie A sur A′ tel que (d) soit la médiatrice de [AA′] : c’est un pliage le long de (d). Les deux conservent longueurs, angles et aires.
Symétrie centrale et symétrie axiale : la différence
Une symétrie transforme une figure en une figure identique, placée autrement. La symétrie centrale se fait par rapport à un point, la symétrie axiale par rapport à une droite, appelée aussi symétrie orthogonale.
| Symétrie axiale | Symétrie centrale | |
|---|---|---|
| Par rapport à | Une droite (d) | Un point O |
| Geste | Pliage le long de la droite | Demi-tour autour du point |
| Définition | (d) est la médiatrice de [AA′] | O est le milieu de [AA′] |
| Point fixe | Tous les points de (d) | Seulement le point O |
| Image d’une droite | Une droite, pas toujours parallèle | Une droite parallèle |
| Étudiée | Dès l’école primaire et en 6e | En 5e |
Les propriétés de la symétrie
Ces propriétés servent dans les démonstrations : deux figures symétriques sont superposables, donc tout ce qui se mesure sur l’une est vrai sur l’autre.
Une symétrie conserve les longueurs, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme.
- Énoncé. A′ et B′ sont les symétriques de A et B par rapport à O, et AB = 5 cm. Combien mesure [A′B′] ?
- La symétrie centrale conserve les longueurs, donc A′B′ = AB = 5 cm.
- De plus, l’image d’une droite par une symétrie centrale lui est parallèle, donc (A′B′) et (AB) sont parallèles.
Construire le symétrique d’un point
La construction tient en quelques gestes, à la règle, à l’équerre et au compas.
- Symétrie axiale, étape 1 : avec l’équerre, trace la perpendiculaire à (d) passant par A.
- Symétrie axiale, étape 2 : reporte au compas, de l’autre côté de (d), la distance entre A et (d). Tu obtiens A′.
- Symétrie centrale, étape 1 : trace la demi-droite [AO).
- Symétrie centrale, étape 2 : reporte au compas la longueur OA de l’autre côté de O. Tu obtiens A′.
- Pour une figure, construis le symétrique de chaque sommet, puis relie-les dans le même ordre.
Astuce : Sur quadrillage, compte les carreaux : en symétrie axiale jusqu’à l’axe, en symétrie centrale jusqu’au centre, puis autant de l’autre côté.
Axes de symétrie et centre de symétrie des figures
Une figure a un axe de symétrie si elle se superpose à elle-même par pliage. Elle a un centre de symétrie si elle se superpose à elle-même après un demi-tour.
| Figure | Axes de symétrie | Centre de symétrie |
|---|---|---|
| Triangle isocèle (non équilatéral) | 1 | Non |
| Triangle équilatéral | 3 | Non |
| Parallélogramme quelconque | 0 | Oui |
| Rectangle (non carré) | 2 | Oui |
| Losange (non carré) | 2, ses diagonales | Oui |
| Carré | 4 | Oui |
| Cercle | Une infinité, ses diamètres | Oui, son centre |
- Parmi les lettres majuscules, A a un axe vertical, B un axe horizontal, H deux axes et un centre, S et N un centre sans axe.
La symétrie dans un repère
Avec des coordonnées, les symétries se lisent sur les signes.
| Symétrie | Règle | Image |
|---|---|---|
| Par rapport à l’origine | Les deux signes changent | (−3 ; −2) |
| Par rapport à l’axe des abscisses | L’ordonnée change de signe | (3 ; −2) |
| Par rapport à l’axe des ordonnées | L’abscisse change de signe | (−3 ; 2) |
Les erreurs à éviter
Le symétrique de A est à la même distance de (d), mais en biais A et A′ sont sur une perpendiculaire à (d)
L’axe doit être la médiatrice de [AA′] : le segment [AA′] lui est perpendiculaire.
Un parallélogramme a deux axes de symétrie Un parallélogramme quelconque n’a aucun axe
Plié selon une diagonale, il ne se superpose pas à lui-même. Il a seulement un centre de symétrie.
Une diagonale d’un rectangle est un axe de symétrie Ses axes passent par les milieux des côtés opposés
Seuls le losange et le carré ont leurs diagonales pour axes.
Exercices corrigés
1. A′ est le symétrique de A par rapport au point O. Que peut-on dire de O ?
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O est le milieu de [AA′]. C’est la définition de la symétrie centrale : O est le milieu du segment qui joint un point à son image.
2. Le segment [AB] mesure 6 cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?
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6 cm. Toute symétrie conserve les longueurs : l’image mesure aussi 6 cm.
3. Combien d’axes de symétrie possède un rectangle qui n’est pas un carré ?
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2. Ce sont les deux droites qui passent par les milieux de deux côtés opposés. Les diagonales n’en sont pas.
4. Que possède un parallélogramme quelconque ?
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Un centre de symétrie et aucun axe. Le point d’intersection de ses diagonales est un centre de symétrie, mais aucun pliage ne le superpose à lui-même.
5. Quelles sont les coordonnées du symétrique de M(−2 ; 5) par rapport à l’origine ?
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(2 ; −5). Par rapport à l’origine, les deux coordonnées changent de signe.
6. Une droite (d) ne passe pas par O. Quelle est son image par la symétrie de centre O ?
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Une droite parallèle à (d). L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle. Elle n’est confondue avec (d) que si (d) passe par O.
Questions fréquentes
C’est quoi une symétrie ?
C’est une transformation qui donne d’une figure une image superposable, soit par pliage le long d’une droite, soit par demi-tour autour d’un point.
Comment reconnaître une symétrie centrale ?
Les deux figures se superposent après un demi-tour, et tous les segments qui relient un point à son image se coupent en leur milieu, au centre de symétrie.
Quelle différence entre symétrie axiale et symétrie orthogonale ?
Aucune en géométrie plane au collège : ce sont deux noms de la même transformation, par rapport à une droite.