Triangle isocèle et triangle isocèle rectangle : angles, aire, propriétés

Qu’est-ce qu’un triangle isocèle ?

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Si ces deux côtés forment un angle droit, c’est un triangle isocèle rectangle.

Le sommet commun aux deux côtés égaux est le sommet principal, le troisième côté est la base. Dire que ABC est un triangle isocèle en A signifie que AB = AC.

Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux. Si l’angle au sommet principal mesure a, chaque angle à la base mesure (180° − a) ÷ 2.

• La hauteur issue du sommet principal coupe la base en son milieu et perpendiculairement.
• Elle est à la fois hauteur, médiane, médiatrice de la base et bissectrice de l’angle au sommet.
• Cette droite est l’axe de symétrie du triangle.
• À l’inverse, un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.

Astuce : Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier : ses trois côtés sont égaux, donc il est isocèle en chacun de ses sommets.

Les angles du triangle isocèle

La somme des angles d’un triangle vaut 180°. Un seul angle connu suffit donc à trouver les deux autres.

• Énoncé 1. ABC est isocèle en A et l’angle BAC mesure 36°. Calculer l’angle ABC.
• ABC est isocèle en A, donc ses angles à la base sont égaux : ABC = ACB.
• La somme des angles vaut 180°, donc ABC = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°.
• Énoncé 2. DEF est isocèle en D et l’angle DEF mesure 65°. Calculer l’angle EDF.
• Les angles à la base mesurent 65°, donc EDF = 180° − 2 × 65° = 50°.

Aire et périmètre d’un triangle isocèle

L’aire vaut base × hauteur ÷ 2. La hauteur partage le triangle en deux triangles rectangles : Pythagore la donne à partir du côté et de la moitié de la base.

• Étape 1 : coupe la base en deux.
• Étape 2 : applique Pythagore dans un des deux triangles rectangles pour trouver la hauteur.
• Étape 3 : calcule l’aire avec base × hauteur ÷ 2.

• Énoncé. ABC est isocèle en A, avec AB = AC = 8,5 cm et BC = 8 cm. H est le pied de la hauteur issue de A. Calculer AH, l’aire et le périmètre.
• ABC est isocèle en A, donc H est le milieu de [BC] : BH = 4 cm.
• Le triangle ABH est rectangle en H, donc d’après le théorème de Pythagore : AH² = 8,5² − 4² = 72,25 − 16 = 56,25.
• AH = √56,25 = 7,5 cm.
• Aire = 8 × 7,5 ÷ 2 = 30 cm². Périmètre = 8,5 + 8,5 + 8 = 25 cm.

Astuce : Pour vérifier l’aire, choisis « Triangle » dans le calculateur en haut de la page, puis saisis la base et la hauteur : 8 et 7,5 donnent 30.

Le triangle rectangle isocèle

Ses deux angles aigus sont égaux et leur somme vaut 90° : chacun mesure 45°. C’est la moitié d’un carré coupé selon sa diagonale.

Si les côtés de l’angle droit mesurent c, alors hypoténuse = c × √2 et aire = c² ÷ 2.

• Énoncé. MNP est isocèle rectangle en M, avec MN = MP = 7 cm. Calculer NP et l’aire.
• Le triangle MNP est rectangle en M, donc d’après le théorème de Pythagore : NP² = 7² + 7² = 98.
• NP = √98 = 7√2 ≈ 9,9 cm.
• Aire = 7 × 7 ÷ 2 = 24,5 cm².

Comment trouver la base d’un triangle isocèle

Deux cas se présentent, selon les données.

• Avec le périmètre P et le côté c : base = P − 2 × c.
• Avec le côté c et la hauteur h : la demi-base vaut √(c² − h²), et la base est le double.

• Exemple. Côtés égaux de 6,5 cm et hauteur de 6 cm : demi-base² = 42,25 − 36 = 6,25, donc la demi-base vaut 2,5 cm et la base 5 cm.
• Pour dessiner un triangle isocèle. Trace la base, prends le compas avec l’écartement du côté, puis trace deux arcs depuis chaque extrémité : ils se coupent au sommet principal.

1. 1. ABC est isocèle en A et l’angle BAC mesure 40°. Combien mesure l’angle ABC ?

   40°70°140°80°
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   70°. (180° − 40°) ÷ 2 = 140° ÷ 2 = 70°.

2. 2. ABC est isocèle en A et l’angle ABC mesure 50°. Combien mesure l’angle BAC ?

   80°50°65°130°
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   80°. Les deux angles à la base mesurent 50°, donc l’angle au sommet vaut 180° − 100° = 80°.

3. 3. Combien mesurent les angles aigus d’un triangle rectangle isocèle ?

   30° et 60°60° et 60°45° et 45°90° et 90°
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   45° et 45°. Ils sont égaux et leur somme vaut 90°, donc chacun mesure 45°.

4. 4. Un triangle rectangle isocèle a des côtés de l’angle droit de 6 cm. Quelle est son aire ?

   36 cm²12 cm²24 cm²18 cm²
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   18 cm². Aire = 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm².

5. 5. Un triangle rectangle isocèle a des côtés de l’angle droit de 5 cm. Quelle est son hypoténuse, au dixième près ?

   7,1 cm10 cm5 cm25 cm
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   7,1 cm. Hypoténuse = 5 × √2 ≈ 7,1 cm, car 5² + 5² = 50 et √50 ≈ 7,1.

6. 6. Un triangle isocèle a deux côtés de 10 cm et une base de 12 cm. Quelle est son aire ?

   60 cm²48 cm²96 cm²120 cm²
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   48 cm². La demi-base vaut 6 cm, donc h² = 100 − 36 = 64 et h = 8 cm. Aire = 12 × 8 ÷ 2 = 48 cm².