L’essentiel
Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Il sert à calculer une longueur. Sa réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle.
Calculateur du théorème de Pythagore
Hypoténuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Hypoténuse = √25 ≈ 5
La formule du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est toujours le plus long des trois.
À quoi sert le théorème de Pythagore ? À calculer la longueur d’un côté quand tu connais les deux autres, à condition que le triangle soit rectangle.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
| Tu cherches | Tu calcules | Exemple |
|---|---|---|
| L’hypoténuse BC | BC² = AB² + AC², puis la racine carrée | Avec AB = 3 et AC = 4 : BC² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5 |
| Un côté de l’angle droit | AB² = BC² − AC², puis la racine carrée | Avec BC = 5 et AC = 4 : AB² = 25 − 16 = 9, donc AB = 3 |
Astuce : Pour l’hypoténuse, tu additionnes les carrés. Pour un autre côté, tu soustrais. Le résultat doit toujours laisser l’hypoténuse plus grande que les deux autres côtés.
Rédaction du théorème de Pythagore au brevet
La rédaction compte autant que le calcul. Chaque démonstration suit les mêmes étapes, dans le même ordre.
- Étape 1 : repère l’angle droit et nomme l’hypoténuse.
- Étape 2 : écris la phrase « Le triangle … est rectangle en …, donc d’après le théorème de Pythagore : ».
- Étape 3 : écris l’égalité avec les lettres, avant tout nombre.
- Étape 4 : remplace par les longueurs et calcule les carrés.
- Étape 5 : prends la racine carrée, puis donne l’arrondi demandé avec l’unité.
- Énoncé. RST est rectangle en S, avec RS = 5 cm et ST = 7 cm. Calculer RT, arrondi au dixième.
- Le triangle RST est rectangle en S, donc d’après le théorème de Pythagore :
- RT² = RS² + ST²
- RT² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74
- RT = √74 ≈ 8,6 cm.
Exemple : calculer un côté de l’angle droit
Quand l’inconnue n’est pas l’hypoténuse, tu pars de la même égalité et tu isoles le carré cherché.
- Énoncé. EFG est rectangle en F, avec EG = 9,7 cm et EF = 6,5 cm. Calculer FG.
- Le triangle EFG est rectangle en F, donc d’après le théorème de Pythagore :
- EG² = EF² + FG²
- 9,7² = 6,5² + FG²
- FG² = 94,09 − 42,25 = 51,84
- FG = √51,84 = 7,2 cm.
La réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque de Pythagore répond à la question inverse : comment savoir si un triangle est rectangle ? Tu connais les trois longueurs et tu compares deux calculs, menés séparément.
Si, dans le triangle ABC, BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.
- Étape 1 : repère le plus grand côté.
- Étape 2 : calcule son carré d’un côté.
- Étape 3 : calcule la somme des carrés des deux autres côtés de l’autre.
- Étape 4 : si les deux résultats sont égaux, conclus avec la réciproque. S’ils sont différents, le triangle n’est pas rectangle.
- Énoncé. KLM a pour côtés KL = 4,5 cm, LM = 6 cm et KM = 7,5 cm. Est-il rectangle ?
- [KM] est le plus grand côté. D’une part, KM² = 7,5² = 56,25.
- D’autre part, KL² + LM² = 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25.
- On a KM² = KL² + LM², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, KLM est rectangle en L.
- Contre-exemple. Avec des côtés de 5, 7 et 9 cm : 9² = 81 et 5² + 7² = 74. Comme 81 ≠ 74, le triangle n’est pas rectangle.
Astuce : Le sommet de l’angle droit est celui qui n’appartient pas au plus grand côté. Ici, [KM] ne contient pas L : l’angle droit est en L.
Vérifier ton calcul avec le calculateur
Le calculateur en haut de la page affiche chaque ligne du calcul : tu peux comparer ta copie ligne par ligne, pas seulement le résultat final.
- Choisis « l’hypoténuse » ou « un côté de l’angle droit » dans le menu.
- Saisis les deux longueurs connues dans la même unité. La virgule est acceptée : essaie 9,7 et 6,5 pour retrouver 51,84 et 7,2.
- Compare les carrés affichés avec les tiens : une erreur vient presque toujours de là.
- Pour une réciproque, cherche l’hypoténuse à partir des deux petits côtés. Si le carré affiché est exactement celui du plus grand côté, le triangle est rectangle.
Astuce : Pour une réciproque, compare les carrés, jamais des valeurs arrondies : 8,6² ne redonne pas 74.
Les erreurs à éviter
BC = AB + AC BC² = AB² + AC²
Le théorème porte sur les carrés des longueurs, pas sur les longueurs : avec 3 et 4, l’hypoténuse vaut 5, pas 7.
AB² = BC² + AC², alors que [BC] est l’hypoténuse BC² = AB² + AC²
L’hypoténuse est seule de son côté de l’égalité. Repère-la avant d’écrire quoi que ce soit.
RT = √74 = 8,6 cm RT = √74 ≈ 8,6 cm
La valeur 8,6 est un arrondi : écris le signe ≈, ou laisse la valeur exacte √74.
D’après le théorème de Pythagore, le triangle est rectangle D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle
Le théorème part d’un triangle rectangle. Pour prouver qu’il l’est, c’est la réciproque qui s’applique.
Exercices corrigés
1. Le triangle ABC est rectangle en B. Quelle est son hypoténuse ?
Voir la correction
[AC]. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. L’angle droit est en B, et [AC] est le seul côté qui ne contient pas B.
2. DEF est rectangle en E, avec DE = 9 cm et EF = 12 cm. Combien mesure DF ?
Voir la correction
15 cm. DF² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, donc DF = √225 = 15 cm. Le piège 225 oublie la racine carrée.
3. L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 25 cm et un autre côté mesure 7 cm. Combien mesure le troisième côté ?
Voir la correction
24 cm. On soustrait : 25² − 7² = 625 − 49 = 576, et √576 = 24 cm.
4. Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 11 cm. Est-il rectangle ?
Voir la correction
Non, car 11² ≠ 6² + 8². 11² = 121 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux résultats sont différents : le triangle n’est pas rectangle.
5. Quelle est la longueur de la diagonale d’un carré de 5 cm de côté, arrondie au dixième ?
Voir la correction
7,1 cm. La diagonale est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent 5 cm : d² = 25 + 25 = 50, donc d = √50 ≈ 7,1 cm.
6. Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical, son pied à 1,4 m du mur. À quelle hauteur arrive-t-elle ?
Voir la correction
4,8 m. L’échelle est l’hypoténuse : h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04, donc h = √23,04 = 4,8 m.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
C’est une propriété du triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Elle permet de calculer un côté quand on connaît les deux autres.
Comment calculer la réciproque de Pythagore ?
Calcule d’un côté le carré du plus grand côté, de l’autre la somme des carrés des deux autres. S’il y a égalité, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l’est pas.
Comment savoir si un triangle est rectangle avec Pythagore ?
Il te faut les trois longueurs. Applique la réciproque avec des valeurs exactes : une égalité parfaite prouve l’angle droit, et une mesure à l’équerre sur une figure ne prouve rien.
Peut-on utiliser le théorème de Pythagore dans n’importe quel triangle ?
Non, seulement dans un triangle rectangle. Si l’énoncé ne le dit pas, il faut d’abord le démontrer.