Homothétie : définition, rapport et exemples

Q: Qu’est-ce qu’une homothétie ?

C’est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un point, le centre, selon un nombre non nul, le rapport. La figure obtenue a la même forme.

Q: Que fait une homothétie de rapport 2 ?

Elle double les distances au centre : chaque point s’éloigne de O, du même côté. Les longueurs sont multipliées par 2 et les aires par 4.

Q: Quelle différence entre homothétie et agrandissement ?

Un agrandissement peut placer la figure n’importe où. L’homothétie fixe en plus sa position, grâce au centre et au signe du rapport.

L’essentiel

L’homothétie de centre O et de rapport k est une transformation qui agrandit ou réduit une figure à partir du point O. L’image M′ d’un point M est alignée avec O et M, et OM′ = |k| × OM. Si k est positif, M′ est du même côté que M ; si k est négatif, il est de l’autre côté de O.

Homothétie : définition

Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k, un nombre non nul. Elle produit une figure de même forme, à une autre échelle : c’est le principe d’un vidéoprojecteur, qui agrandit une image à partir de sa lampe.

L’image M′ d’un point M se construit depuis le centre : O, M et M′ sont alignés. La valeur de k fixe la distance, son signe fixe le côté.

Homothétie de centre O et de rapport k : OM′ = |k| × OM, avec O, M et M′ alignés. M′ est du même côté que M si k > 0, de l’autre côté de O si k < 0.

Que produit le rapport
Rapport k	Effet	Position de l’image
k > 1	Agrandissement	Du même côté que la figure
0 < k < 1	Réduction	Du même côté que la figure
k = 1	Figure inchangée	Elle reste à sa place
−1 < k < 0	Réduction	De l’autre côté de O
k = −1	Symétrie de centre O	De l’autre côté de O
k < −1	Agrandissement	De l’autre côté de O

Construire l’image d’une figure

Étape 1 : trace la droite (OA) passant par le centre et un sommet.
Étape 2 : mesure OA et calcule OA′ = |k| × OA.
Étape 3 : place A′ sur cette droite, du bon côté de O selon le signe de k.
Étape 4 : recommence pour chaque sommet, puis relie les images dans le même ordre.

Énoncé 1. OA = 2 cm. Placer A′, image de A par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
OA′ = 3 × 2 = 6 cm. Le rapport est positif : A′ est sur la demi-droite [OA), à 6 cm de O.
Énoncé 2. OA = 2 cm. Même question avec un rapport de −1,5.
OA′ = 1,5 × 2 = 3 cm. Le rapport est négatif : A′ est de l’autre côté de O, à 3 cm de O.

Astuce : Le contrôle est immédiat : après construction, chaque côté de l’image doit être parallèle au côté correspondant de la figure de départ.

Les propriétés de l’homothétie

Une homothétie conserve les angles, l’alignement et le parallélisme : la figure garde sa forme. L’image d’une droite est une droite parallèle. Les longueurs, elles, sont multipliées.

Longueurs × |k|, aires × k², volumes × |k|³.

Énoncé. Le triangle ABC a un côté de 4 cm et une aire de 5 cm². Par une homothétie de rapport −3, il a pour image A′B′C′. Donner le côté correspondant et l’aire de l’image.
Les longueurs sont multipliées par |−3| = 3 : le côté correspondant mesure 3 × 4 = 12 cm.
Les aires sont multipliées par (−3)² = 9 : l’aire de A′B′C′ vaut 9 × 5 = 45 cm².

Trouver le rapport d’une homothétie

Le rapport se lit en comparant une longueur de l’image à la longueur correspondante de la figure de départ, puis en regardant la position de l’image.

Valeur : calcule OA′ ÷ OA, ou A′B′ ÷ AB.
Signe : positif si A et A′ sont du même côté de O, négatif sinon.

OA = 4 cm, OA′ = 10 cm, A et A′ du même côté de O : k = 10 ÷ 4 = 2,5.
OA = 6 cm, OA′ = 3 cm, A et A′ de part et d’autre de O : k = −0,5.
Dans un repère, avec le centre à l’origine et un rapport 2, le point A(1 ; 3) a pour image A′(2 ; 6). Avec un rapport −2, son image est (−2 ; −6).

Astuce : Une figure et son image par homothétie forment une configuration de Thalès : le calculateur de la page Thalès te permet de vérifier une longueur manquante.

Les erreurs à éviter

Avec k = −3, une longueur de 4 cm devient −12 cm Elle devient 12 cm
Une longueur est toujours positive : le signe de k indique seulement le côté de O.
Avec k = 3, l’aire est multipliée par 3 L’aire est multipliée par 9
Une aire dépend de deux longueurs, chacune multipliée par 3 : 3 × 3 = 9.
Un rapport négatif réduit toujours la figure C’est la valeur de |k| qui décide
Agrandissement si |k| > 1, réduction si |k| < 1, quel que soit le signe de k.

Exercices corrigés

1. OA = 4 cm. A′ est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport 2. Combien mesure OA′ ?
Voir la correction
8 cm. OA′ = 2 × 4 = 8 cm.
2. Un segment de 7 cm subit une homothétie de rapport −0,5. Combien mesure son image ?
Voir la correction
3,5 cm. La longueur est multipliée par |−0,5| = 0,5 : 7 × 0,5 = 3,5 cm. Une longueur n’est jamais négative.
3. Une figure a une aire de 6 cm². Quelle est l’aire de son image par une homothétie de rapport 3 ?
Voir la correction
54 cm². L’aire est multipliée par 3² = 9 : 6 × 9 = 54 cm².
4. À quelle transformation correspond une homothétie de rapport −1 ?
Voir la correction
Une symétrie centrale. OM′ = OM et M′ est de l’autre côté de O : O est le milieu de [MM′].
5. OA = 3 cm et OA′ = 7,5 cm, avec A et A′ du même côté de O. Quel est le rapport ?
Voir la correction
2,5. k = 7,5 ÷ 3 = 2,5, positif car A et A′ sont du même côté de O.
6. Un solide de volume 5 cm³ est agrandi par une homothétie de rapport 2. Quel est le volume de l’image ?
Voir la correction
40 cm³. Le volume est multiplié par 2³ = 8 : 5 × 8 = 40 cm³.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une homothétie ?