L’essentiel
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Avec des coordonnées dans un repère orthonormé, u · v = xx′ + yy′. Avec des longueurs et un angle, u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v). Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
Les quatre formules du produit scalaire
Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel, et non un vecteur. Il existe plusieurs formules : le choix dépend des données de l’énoncé.
| Tu connais | Formule |
|---|---|
| Les coordonnées en repère orthonormé | u · v = xx′ + yy′ |
| Les normes et l’angle | u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v) |
| Le projeté orthogonal H de C sur (AB) | vecteur AB · vecteur AC = AB × AH si les vecteurs AB et AH sont de même sens, −AB × AH sinon |
| Seulement des normes | u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) ÷ 2 |
Astuce : Si l’angle est aigu, le produit scalaire est positif. S’il est obtus, il est négatif. S’il est droit, il est nul.
Orthogonalité : la propriété clé
C’est l’usage le plus courant : pour prouver que deux droites sont perpendiculaires, tu montres que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
- Étape 1 : calcule les coordonnées de deux vecteurs portés par les droites.
- Étape 2 : calcule xx′ + yy′.
- Étape 3 : si le résultat est 0, conclus que les droites sont perpendiculaires.
- Énoncé. Dans un repère orthonormé, u(3 ; −1) et v(2 ; 6). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ?
- u · v = 3 × 2 + (−1) × 6 = 6 − 6 = 0.
- Le produit scalaire est nul, donc u et v sont orthogonaux.
Calculer un angle ou une longueur
En égalant deux formules, tu obtiens un cosinus, donc un angle. Avec la formule d’Al-Kashi, tu généralises Pythagore à tous les triangles.
Formule d’Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(A).
- Énoncé 1. u(1 ; 2) et v(3 ; 1) dans un repère orthonormé. Calculer l’angle entre u et v.
- u · v = 1 × 3 + 2 × 1 = 5. Puis ‖u‖ = √5 et ‖v‖ = √10.
- cos(u, v) = 5 ÷ (√5 × √10) = 5 ÷ √50 = 5 ÷ (5√2) = √2/2.
- L’angle géométrique entre u et v mesure donc 45°.
- Énoncé 2. Dans le triangle ABC, AB = 4, AC = 5 et l’angle A mesure 60°. Calculer vecteur AB · vecteur AC, puis BC.
- Vecteur AB · vecteur AC = 4 × 5 × cos(60°) = 20 × 0,5 = 10.
- BC² = 16 + 25 − 2 × 10 = 21, donc BC = √21 ≈ 4,6.
Astuce : Pour contrôler un angle obtenu par cosinus, ouvre le calculateur de la page trigonométrie : mode « un angle », rapport cosinus, 5 pour l’adjacent et 7,071 (√50 arrondi) pour l’hypoténuse. Il redonne environ 45°.
Les règles de calcul
Le produit scalaire se manipule presque comme un produit de nombres.
- Symétrie : u · v = v · u.
- Bilinéarité : u · (v + w) = u · v + u · w et (k × u) · v = k × (u · v).
- Carré scalaire : u · u = ‖u‖².
- Identités : ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u · v + ‖v‖² et ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2 u · v + ‖v‖².
Vecteur normal et équation cartésienne
Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à ses vecteurs directeurs. Il donne directement une équation de la droite.
La droite de vecteur normal n(a ; b) a une équation de la forme ax + by + c = 0.
- Énoncé. Trouver une équation de la droite passant par A(2 ; −1), de vecteur normal n(3 ; 4).
- L’équation est de la forme 3x + 4y + c = 0.
- A appartient à la droite : 3 × 2 + 4 × (−1) + c = 0, donc 2 + c = 0 et c = −2.
- Une équation est 3x + 4y − 2 = 0.
Les erreurs à éviter
u · v = (xx′ ; yy′) u · v = xx′ + yy′
Le résultat est un nombre, pas un vecteur.
Vecteur AB · vecteur AC = AB × AC Vecteur AB · vecteur AC = AB × AC × cos(A)
Sans le cosinus, la formule n’est vraie que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.
Oublier le signe avec le projeté orthogonal Regarder si H est du côté de B par rapport à A
Si le projeté est de l’autre côté, l’angle est obtus et le produit scalaire est négatif.
Exercices corrigés
1. u(2 ; 3) et v(4 ; −1) dans un repère orthonormé. Combien vaut u · v ?
Voir la correction
5. 2 × 4 + 3 × (−1) = 8 − 3 = 5.
2. ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 et l’angle entre u et v mesure 60°. Combien vaut u · v ?
Voir la correction
6. u · v = 3 × 4 × cos(60°) = 12 × 0,5 = 6.
3. Pour quelle valeur de m les vecteurs u(2 ; 5) et v(m ; −2) sont-ils orthogonaux ?
Voir la correction
m = 5. u · v = 2m − 10 = 0, donc m = 5.
4. AB = 6. H est le projeté orthogonal de C sur (AB), H est sur [AB] et AH = 2. Combien vaut vecteur AB · vecteur AC ?
Voir la correction
12. H est du côté de B par rapport à A : vecteur AB · vecteur AC = AB × AH = 6 × 2 = 12.
5. Dans le triangle ABC, AB = 3, AC = 2 et l’angle A mesure 120°. Combien vaut vecteur AB · vecteur AC ?
Voir la correction
−3. 3 × 2 × cos(120°) = 6 × (−0,5) = −3. L’angle est obtus : le résultat est négatif.
6. Quelle est une équation de la droite de vecteur normal n(2 ; −3) passant par A(1 ; 1) ?
Voir la correction
2x − 3y + 1 = 0. La forme est 2x − 3y + c = 0. Avec A : 2 − 3 + c = 0, donc c = 1.
Questions fréquentes
Le produit scalaire est-il un vecteur ?
Non, c’est un nombre réel, qui peut être positif, négatif ou nul.
Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires ?
Prends un vecteur directeur de chaque droite et calcule leur produit scalaire. S’il vaut 0, les droites sont perpendiculaires.
Quel est le lien entre Al-Kashi et Pythagore ?
Si l’angle A est droit, cos(A) = 0 et la formule d’Al-Kashi redevient BC² = AB² + AC².