L’essentiel
Les vecteurs décrivent un déplacement : un vecteur a une direction, un sens et une norme (sa longueur). La relation de Chasles dit que vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC. Deux vecteurs u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires quand xy′ − yx′ = 0.
Définition d’un vecteur
Les vecteurs modélisent un déplacement en ligne droite. Le vecteur AB est celui de la translation qui envoie A sur B. Sur cette page, il s’écrit « vecteur AB » ; sur ta copie, tu traces une flèche au-dessus des lettres.
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, même s’ils ne partent pas du même point.
Vecteur AB = vecteur DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati.
| Caractéristique | Ce que c’est |
|---|---|
| Direction | Celle de la droite (AB) |
| Sens | De A vers B |
| Norme | La longueur AB, notée ‖AB‖ |
Astuce : Attention à l’ordre : c’est vecteur AB = vecteur DC, et non vecteur CD. Suis les flèches, elles doivent aller dans le même sens.
Somme de vecteurs et relation de Chasles
Additionner deux vecteurs, c’est enchaîner deux déplacements. Pour faire le calcul, la méthode dépend de la position des vecteurs.
Relation de Chasles : vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.
- Bout à bout : si le second part de l’arrivée du premier, applique la relation de Chasles.
- Même origine : applique la règle du parallélogramme. La somme est portée par la diagonale.
- Opposé : vecteur BA = −vecteur AB. Soustraire un vecteur, c’est ajouter son opposé.
- Produit par un réel k : même direction, norme multipliée par |k|, sens inversé si k est négatif.
- Vecteur AB + vecteur BC + vecteur CD = vecteur AD.
- Vecteur MA + vecteur AN = vecteur MN.
- Vecteur AB − vecteur CB = vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.
Les formules des vecteurs avec coordonnées
Dans un repère, chaque vecteur a deux coordonnées : le déplacement horizontal et le déplacement vertical. Les calculs deviennent alors de simples opérations. La norme demande un repère orthonormé.
| Objet | Formule |
|---|---|
| Vecteur AB | (xB − xA ; yB − yA) |
| Somme u + v | (x + x′ ; y + y′) |
| Produit k × u | (k × x ; k × y) |
| Norme de u | ‖u‖ = √(x² + y²) |
| Déterminant de u et v | xy′ − yx′ |
Astuce : Pour contrôler une norme, utilise le calculateur de la page Pythagore : saisis les deux coordonnées comme côtés de l’angle droit, en valeur absolue. L’hypoténuse affichée est la norme.
Vecteurs colinéaires : la méthode
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire si l’un est le produit de l’autre par un réel. La colinéarité sert à prouver un parallélisme ou un alignement.
u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − yx′ = 0.
- Étape 1 : calcule les coordonnées des deux vecteurs.
- Étape 2 : calcule le déterminant xy′ − yx′.
- Étape 3 : si le résultat est 0, ils sont colinéaires. Conclus : droites parallèles, ou points alignés si les vecteurs ont un point commun.
- Énoncé. A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(−2 ; 3) et D(7 ; 6). Montrer que (AB) et (CD) sont parallèles.
- Vecteur AB (4 − 1 ; 3 − 2), soit (3 ; 1). Vecteur CD (7 + 2 ; 6 − 3), soit (9 ; 3).
- Déterminant : 3 × 3 − 1 × 9 = 9 − 9 = 0.
- Les vecteurs AB et CD sont colinéaires (vecteur CD = 3 × vecteur AB), donc (AB) et (CD) sont parallèles.
- Elles ne sont pas confondues : vecteur AC (−3 ; 1) donne 3 × 1 − 1 × (−3) = 6 ≠ 0, donc C n’est pas sur (AB).
Vecteur directeur d’une droite
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul qui a la même direction qu’elle. Pour deux points A et B de la droite, vecteur AB convient. Une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires.
La droite d’équation ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur u(−b ; a).
- La droite 2x + 3y − 6 = 0 a pour vecteur directeur u(−3 ; 2).
- La droite y = 2x + 1 a pour vecteur directeur u(1 ; 2) : quand x augmente de 1, y augmente de 2.
Astuce : Le vecteur normal et le vecteur orthogonal se traitent avec le produit scalaire : voir la page dédiée.
Les erreurs à éviter
Vecteur AB = (xA − xB ; yA − yB) Vecteur AB = (xB − xA ; yB − yA)
On calcule toujours arrivée moins départ.
Vecteur AB + vecteur BC a pour norme AB + BC Sa norme est AC
Les normes ne s’additionnent pas en général : c’est le vecteur somme qu’il faut mesurer.
ABCD parallélogramme, donc vecteur AB = vecteur CD Vecteur AB = vecteur DC
Vecteur AB et vecteur CD sont de sens contraires. Ils sont opposés, pas égaux.
Exercices corrigés
1. Que vaut vecteur AB + vecteur BC ?
Voir la correction
Vecteur AC. C’est la relation de Chasles : le B intermédiaire disparaît.
2. A(2 ; 5) et B(6 ; 3). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?
Voir la correction
(4 ; −2). Arrivée moins départ : (6 − 2 ; 3 − 5) = (4 ; −2).
3. Dans un repère orthonormé, quelle est la norme de u(3 ; −4) ?
Voir la correction
5. ‖u‖ = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
4. Pour quelle valeur de m les vecteurs u(2 ; 3) et v(4 ; m) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction
m = 6. Déterminant : 2 × m − 3 × 4 = 0, donc 2m = 12 et m = 6.
5. ABCD est un parallélogramme. Quelle égalité est vraie ?
Voir la correction
Vecteur AB = vecteur DC. Les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur, et les flèches de A vers B et de D vers C vont dans le même sens.
6. u(1 ; 2) et v(3 ; −1). Quelles sont les coordonnées de 2u − v ?
Voir la correction
(−1 ; 5). 2u = (2 ; 4). Puis 2u − v = (2 − 3 ; 4 + 1) = (−1 ; 5).
Questions fréquentes
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires ?
Calcule le déterminant xy′ − yx′ : s’il vaut 0, ils sont colinéaires. Tu peux aussi trouver un réel k tel que v = k × u.
Qu’est-ce que la relation de Chasles ?
C’est l’égalité vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC, valable pour tous points A, B, C. Elle permet de simplifier une somme ou de faire apparaître un point.
Comment montrer que trois points sont alignés avec des vecteurs ?
Montre que vecteur AB et vecteur AC sont colinéaires. Comme ils partent du même point A, les trois points sont alignés.