L’essentiel
Un cercle est l’ensemble des points situés à la même distance, le rayon r, d’un point appelé centre. Son périmètre vaut 2 × π × r et l’aire du disque qu’il délimite vaut π × r². Le diamètre est le double du rayon.
Calculateur de périmètre et d’aire
Périmètre = 2 × (L + l) ≈ 26
Aire = L × l ≈ 40
Le vocabulaire du cercle
Un cercle de centre O et de rayon r est formé de tous les points M tels que OM = r. Le cercle est la ligne, le disque est la surface qu’elle entoure : un cercle a un périmètre, un disque a une aire.
| Mot | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Rayon | Segment reliant le centre à un point du cercle | [OA], avec A sur le cercle |
| Diamètre | Segment qui passe par le centre et relie deux points du cercle | [AB], avec O milieu de [AB] |
| Corde | Segment reliant deux points du cercle | [CD] |
| Arc | Partie du cercle entre deux points | L’arc AB |
| Tangente | Droite qui touche le cercle en un seul point | La droite (t) en A |
Astuce : Le diamètre est la plus longue corde du cercle, et il vaut toujours deux rayons.
Périmètre du cercle et aire du disque
Le nombre π vaut environ 3,14. C’est le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre, le même pour tous les cercles.
Périmètre du cercle = 2 × π × r = π × d. Aire du disque = π × r².
- Étape 1 : repère si l’énoncé donne le rayon ou le diamètre. Si c’est le diamètre, divise par 2 pour l’aire.
- Étape 2 : écris la formule avec les lettres.
- Étape 3 : remplace, garde π pour la valeur exacte.
- Étape 4 : arrondis à la fin, avec cm pour le périmètre et cm² pour l’aire.
- Énoncé. Une roue a un diamètre de 60 cm. Calculer son périmètre au dixième près et l’aire du disque à l’unité près.
- Le rayon vaut 60 ÷ 2 = 30 cm.
- Périmètre = 2 × π × 30 = 60π ≈ 188,5 cm.
- Aire = π × 30² = 900π ≈ 2 827 cm².
- À chaque tour, la roue avance donc d’environ 188,5 cm.
Vérifier avec le calculateur
- Dans le calculateur en haut de la page, choisis « Cercle (disque) ».
- Saisis le rayon, jamais le diamètre : avec 30, il affiche environ 188,496 et 2 827,433.
- L’outil utilise une valeur très précise de π. Si tu calcules avec 3,14, tu trouveras un résultat légèrement différent, sans que ce soit une erreur de méthode.
Longueur d’un arc et aire d’un secteur
L’arc et le secteur sont proportionnels à l’angle au centre. Un demi-cercle correspond à 180°, un quart de cercle à 90°.
Pour un angle au centre de a degrés : longueur de l’arc = 2 × π × r × a ÷ 360, aire du secteur = π × r² × a ÷ 360.
- Quart de cercle de rayon 4 cm : arc = 2 × π × 4 × 90 ÷ 360 = 2π ≈ 6,3 cm.
- Secteur de 90° de même rayon : aire = π × 16 × 90 ÷ 360 = 4π ≈ 12,6 cm².
Tangente et cercle circonscrit
La tangente en A au cercle de centre O est perpendiculaire au rayon [OA].
- Tracer une tangente : trace le rayon [OA], puis la perpendiculaire à (OA) passant par A.
- Cercle circonscrit à un triangle : il passe par les trois sommets, et son centre est le point de concours des médiatrices.
- Triangle et diamètre : si [AB] est un diamètre et C un autre point du cercle, le triangle ABC est rectangle en C.
Les erreurs à éviter
Aire = 2 × π × r Aire = π × r²
2 × π × r est le périmètre, en cm. L’aire s’exprime en cm² : c’est pourquoi r y est au carré.
Aire = π × d² Aire = π × r²
La formule utilise le rayon. Avec le diamètre, l’aire serait quatre fois trop grande.
π = 3,14 π ≈ 3,14
π a une infinité de décimales : 3,14 n’en est qu’un arrondi.
Exercices corrigés
1. Un cercle a un diamètre de 14 cm. Combien mesure son rayon ?
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7 cm. Le rayon est la moitié du diamètre : 14 ÷ 2 = 7 cm.
2. Quel est le périmètre d’un cercle de rayon 5 cm, au dixième près ?
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31,4 cm. 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,4 cm.
3. Quelle est l’aire d’un disque de rayon 3 cm, au dixième près ?
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28,3 cm². π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm². La valeur 18,8 est le périmètre.
4. Un cercle a un périmètre d’environ 62,8 cm. Quel est son rayon ?
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10 cm. r = périmètre ÷ (2 × π) ≈ 62,8 ÷ 6,28 = 10 cm.
5. La droite (t) est tangente en A au cercle de centre O. Que peut-on dire ?
Voir la correction
(t) est perpendiculaire à (OA). La tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact.
6. Si on double le rayon d’un disque, comment change son aire ?
Voir la correction
Elle est multipliée par 4. π × (2r)² = 4 × π × r² : le rayon est au carré, donc l’aire est multipliée par 4.
Questions fréquentes
Comment calculer le périmètre d’un cercle ?
Multiplie le diamètre par π, ou deux fois le rayon par π. Pour un rayon de 5 cm, cela donne 10π, soit environ 31,4 cm.
Quelle différence entre un cercle et un disque ?
Le cercle est la ligne, le disque est la surface à l’intérieur, ligne comprise. On parle donc du périmètre du cercle et de l’aire du disque.
Comment trouver le rayon à partir du périmètre ?
Divise le périmètre par 2 × π. Pour un périmètre de 62,8 cm, le rayon vaut environ 10 cm.