Repère et coordonnées : abscisse, ordonnée, milieu, distance

Repère et coordonnées d’un point

Un repère du plan est formé de deux axes gradués sécants, de même origine O. L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées. Il est orthonormé si les axes sont perpendiculaires et ont la même unité.

Les coordonnées d’un point s’écrivent entre parenthèses, l’abscisse d’abord : A(3 ; −2) a pour abscisse 3 et pour ordonnée −2.

Un point s’écrit (abscisse ; ordonnée) : d’abord l’axe horizontal, ensuite l’axe vertical.

• Pour placer A(3 ; −2) : pars de O, avance de 3 vers la droite, puis descends de 2.
• Pour lire un point : descends ou monte vers l’axe horizontal pour l’abscisse, puis va vers l’axe vertical pour l’ordonnée.
• L’origine O a pour coordonnées (0 ; 0).
• Un point de l’axe des abscisses a une ordonnée nulle, et un point de l’axe des ordonnées a une abscisse nulle.

Astuce : Pour ne plus confondre, retiens l’ordre alphabétique : abscisse avant ordonnée, x avant y.

Coordonnées du milieu d’un segment

Le milieu est à mi-chemin sur chaque axe : tu calcules la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Cette formule est valable dans tout repère.

I milieu de [AB] : xI = (xA + xB) ÷ 2 et yI = (yA + yB) ÷ 2.

• Énoncé. A(−1 ; 2) et B(5 ; −2). Calculer les coordonnées du milieu I de [AB].
• xI = (−1 + 5) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2.
• yI = (2 + (−2)) ÷ 2 = 0 ÷ 2 = 0.
• Donc I(2 ; 0).

Distance entre deux points

La formule vient du théorème de Pythagore : l’écart horizontal et l’écart vertical sont les deux côtés d’un triangle rectangle dont [AB] est l’hypoténuse. Elle n’est valable que dans un repère orthonormé.

AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).

• Énoncé. Avec A(−1 ; 2) et B(5 ; −2), calculer AB dans un repère orthonormé.
• AB = √((5 − (−1))² + (−2 − 2)²)
• AB = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,2.

Astuce : Pour vérifier, ouvre le calculateur de la page Pythagore, choisis « l’hypoténuse » et saisis les deux écarts sans leur signe : 6 et 4 redonnent √52 ≈ 7,211.

Démontrer avec les coordonnées

Les formules du milieu et de la distance permettent de trouver la nature d’une figure. La méthode se déroule toujours de la même façon.

• Étape 1 : calcule les longueurs des côtés ou les milieux des diagonales.
• Étape 2 : compare ces résultats.
• Étape 3 : conclus avec la bonne propriété : Pythagore pour un angle droit, milieu commun pour un parallélogramme.

• Énoncé. Dans un repère orthonormé, A(1 ; 1), B(5 ; 1) et C(1 ; 4). Quelle est la nature du triangle ABC ?
• AB = √(4² + 0²) = 4. AC = √(0² + 3²) = 3. BC = √((−4)² + 3²) = √25 = 5.
• BC² = 25 et AB² + AC² = 16 + 9 = 25.
• D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

1. 1. Quelle est l’abscisse du point M(−3 ; 4) ?

   4−33−4
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   −3. L’abscisse est le premier nombre écrit entre les parenthèses.

2. 2. Lequel de ces points est sur l’axe des ordonnées ?

   (5 ; 0)(5 ; 5)(1 ; 5)(0 ; 5)
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   (0 ; 5). Sur l’axe des ordonnées, l’abscisse vaut 0.

3. 3. Où se trouve le point P(−2 ; −5) par rapport à l’origine ?

   En haut à gaucheEn bas à droiteEn bas à gaucheEn haut à droite
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   En bas à gauche. Abscisse négative : à gauche. Ordonnée négative : en bas.

4. 4. A(2 ; 6) et B(8 ; −2). Quelles sont les coordonnées du milieu de [AB] ?

   (5 ; 2)(3 ; 4)(5 ; 4)(6 ; −8)
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   (5 ; 2). (2 + 8) ÷ 2 = 5 et (6 − 2) ÷ 2 = 2.

5. 5. Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Combien vaut AB ?

   7525√7
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   5. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

6. 6. I(3 ; 1) est le milieu de [AB], avec A(1 ; 4). Quelles sont les coordonnées de B ?

   (2 ; 2,5)(2 ; −3)(4 ; 5)(5 ; −2)
   Voir la correction

   (5 ; −2). xB = 2 × 3 − 1 = 5 et yB = 2 × 1 − 4 = −2.