Le sujet en bref
Ce corrigé traite le sujet 1 de l’épreuve anticipée (Métropole). Après 8 questions d’automatismes sans calculatrice, le sujet propose un arbre pondéré sur la location de bicyclettes, trois affirmations à justifier sur le second degré, une suite géométrique et une tangente, puis un exercice de géométrie où le produit scalaire mène à une équation avec racine carrée.
Première partie : automatismes, QCM (6 points)
Le sujet ne demande aucune justification et une réponse fausse n’enlève aucun point. Chaque réponse est justifiée ici pour que tu comprennes la méthode. La calculatrice est interdite.
Question 1
Développer (3x − 2)².
On applique l’identité remarquable (a − b)² = a² − 2ab + b², avec a = 3x et b = 2.
(3x − 2)² = (3x)² − 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² − 12x + 4.
Réponse c : 9x² − 12x + 4.
Conseil : Le carré porte sur tout 3x : (3x)² vaut 9x², pas 3x². Et n’oublie pas le double produit.
Question 2
Trouver l’équation de la droite (Δ) tracée à la page 2.
Dans le repère (O, I, J), la droite coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2). Son ordonnée à l’origine vaut donc 2.
Elle passe aussi par le point de coordonnées (2 ; 0). Son coefficient directeur vaut (0 − 2) ÷ (2 − 0) = −1.
L’équation réduite est donc y = −x + 2.
Vérification : la droite passe bien par le point (1 ; 1), et −1 + 2 = 1.
Réponse c : y = −x + 2.
Question 3
Trouver l’effectif d’une classe dont 75 % des élèves font du grec et dont les 9 autres font du latin.
Les élèves de latin représentent 100 % − 75 % = 25 % de la classe, soit un quart.
Si N est le nombre d’élèves, alors N ÷ 4 = 9, donc N = 36.
Vérification : 75 % de 36 valent 27, et 27 + 9 = 36.
Réponse d : 36.
Question 4
Donner le coefficient multiplicateur d’une hausse de 15 %.
Une hausse de t % revient à multiplier par 1 + t/100.
Ici, 1 + 15/100 = 1,15.
Réponse b : 1,15.
Conseil : Le coefficient 0,85 correspond à une baisse de 15 %.
Question 5
Estimer le quotient 150 000 ÷ 3 200.
3 200 est proche de 3 000, et 150 000 ÷ 3 000 = 50.
Contrôle : 3 200 × 50 = 160 000, ce qui est proche de 150 000. Le quotient exact vaut 46,875.
Parmi les valeurs proposées, la plus proche est 50.
Réponse b : 50.
Question 6
Calculer le nombre d’images par seconde d’une vidéo de 2 400 images durant 1 minute et 40 secondes.
On convertit d’abord la durée en secondes : 1 min 40 s = 60 s + 40 s = 100 s.
2 400 ÷ 100 = 24.
Réponse b : 24 images/seconde.
Conseil : 1 min 40 s ne vaut pas 140 secondes, ni 1,40 minute.
Question 7
Trouver le point qui appartient à la courbe de f(x) = 0,5(x − 3)² + 10.
Un point appartient à la courbe si son ordonnée est égale à l’image de son abscisse. On teste chaque point.
A(−3 ; 10) : f(−3) = 0,5 × (−6)² + 10 = 18 + 10 = 28, et 28 ≠ 10.
B(3 ; 10,5) et C(3 ; 10) : f(3) = 0,5 × 0² + 10 = 10. Le point C convient, le point B ne convient pas.
D(0 ; 19,5) : f(0) = 0,5 × (−3)² + 10 = 4,5 + 10 = 14,5, et 14,5 ≠ 19,5.
Réponse c : C(3 ; 10).
Question 8
Simplifier le quotient A de puissances de 10.
Au numérateur : 10²⁰¹ × 10⁻⁴ = 10^(201 − 4) = 10¹⁹⁷.
Au dénominateur : (10²)¹⁰⁰ = 10^(2 × 100) = 10²⁰⁰.
Donc A = 10¹⁹⁷ ÷ 10²⁰⁰ = 10⁻³ = 0,001.
Réponse c : A = 0,001.
Conseil : Un exposant négatif donne un nombre positif : 10⁻³ est un millième, pas un nombre négatif.
Exercice 1 : arbre pondéré, location de bicyclettes (5 points)
T désigne la location d’une bicyclette traditionnelle et A la prise d’une assurance. T̄ désigne donc la location d’une bicyclette électrique.
1.
Compléter les pointillés de l’arbre pondéré.
60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle : P(T) = 0,6.
Les autres ont loué une bicyclette électrique : P(T̄) = 1 − 0,6 = 0,4.
Parmi les clients qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25 % sont assurés : P_T(A) = 0,25.
La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 : P_T(Ā) = 1 − 0,25 = 0,75.
De la racine : 0,6 vers T et 0,4 vers T̄. Depuis T : 0,25 vers A et 0,75 vers Ā.
Conseil : Les branches issues de T̄ n’ont pas de pointillés : on ne connaît pas encore leurs probabilités. La donnée de 20 % ne se place sur aucune branche, car elle porte sur l’ensemble des clients.
2.
Donner la probabilité de A par simple lecture de l’énoncé.
L’énoncé indique que 20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance.
P(A) = 0,2.
3.
Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et se soit assuré vaut 0,15.
L’événement cherché est T ∩ A. On multiplie les probabilités le long du chemin de l’arbre.
P(T ∩ A) = P(T) × P_T(A) = 0,6 × 0,25 = 0,15.
P(T ∩ A) = 0,15.
4.
En déduire que P(T̄ ∩ A) = 0,05.
Les événements T et T̄ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
P(A) = P(T ∩ A) + P(T̄ ∩ A).
Donc P(T̄ ∩ A) = P(A) − P(T ∩ A) = 0,2 − 0,15 = 0,05.
P(T̄ ∩ A) = 0,05.
Conseil : Cite la formule des probabilités totales : c’est le raisonnement attendu, pas seulement la soustraction.
5.
Déterminer la probabilité que le client soit assuré sachant qu’il a loué une bicyclette électrique, sous forme de fraction irréductible.
Louer une bicyclette électrique correspond à l’événement T̄. On cherche donc la probabilité de A sachant T̄.
P_T̄(A) = P(T̄ ∩ A) ÷ P(T̄) = 0,05 ÷ 0,4 = 5/40 = 1/8.
La probabilité cherchée vaut 1/8.
Exercice 2 : vrai ou faux avec justification (5 points)
Les trois questions sont indépendantes. Une réponse sans justification n’est pas prise en compte.
1.
Dire si l’équation x² + x − u² = 0 a deux solutions réelles distinctes pour tout réel u.
C’est une équation du second degré d’inconnue x, avec a = 1, b = 1 et c = −u².
Δ = b² − 4ac = 1² − 4 × 1 × (−u²) = 1 + 4u².
Pour tout réel u, u² ≥ 0, donc 1 + 4u² ≥ 1. Le discriminant est donc strictement positif, quelle que soit la valeur de u.
L’équation possède donc toujours deux solutions réelles distinctes.
Affirmation vraie.
Conseil : L’inconnue est x. Le réel u joue le rôle d’un paramètre : c = −u², avec son signe moins.
2.
Dire si la suite définie par uₙ = 2⁻ⁿ est géométrique de raison 1/2.
Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = 2^(−(n + 1)) = 2⁻ⁿ × 2⁻¹ = (1/2) × uₙ.
On passe d’un terme au suivant en multipliant par le même nombre 1/2, pour tout n.
La suite (uₙ) est donc géométrique de raison 1/2, et de premier terme u₀ = 2⁰ = 1.
Affirmation vraie.
Conseil : Calculer u₀, u₁ et u₂ ne suffit pas : la relation doit être prouvée pour tout entier n.
3.
Dire si le point A(3 ; 3) appartient à la tangente à la courbe de f(x) = eˣ − 1 au point d’abscisse 0.
La fonction f est dérivable sur ℝ et f′(x) = eˣ.
On calcule f(0) = e⁰ − 1 = 1 − 1 = 0 et f′(0) = e⁰ = 1.
La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation y = f′(0)(x − 0) + f(0), soit y = x.
Pour le point A, x = 3 et y = 3 : ses coordonnées vérifient y = x. Le point A appartient donc à la tangente T.
Affirmation vraie.
Exercice 3 : produit scalaire et angle (4 points)
Dans un repère orthonormal, on a P(4 ; 0), K(1 ; 0) et un point M(x ; 3) dont l’abscisse varie.
1.
Donner les coordonnées et la norme du vecteur KP.
vecteur KP (4 − 1 ; 0 − 0), soit vecteur KP (3 ; 0).
Le repère est orthonormal, donc KP = √(3² + 0²) = √9 = 3.
vecteur KP (3 ; 0) et KP = 3.
2.
Exprimer en fonction de x les coordonnées et la norme du vecteur KM.
vecteur KM (x − 1 ; 3 − 0), soit vecteur KM (x − 1 ; 3).
KM = √((x − 1)² + 3²) = √((x − 1)² + 9).
vecteur KM (x − 1 ; 3) et KM = √((x − 1)² + 9).
Conseil : Ne simplifie pas la racine : √((x − 1)² + 9) n’est pas égal à (x − 1) + 3.
3.
Montrer que le produit scalaire des vecteurs KP et KM vaut 3x − 3.
Dans un repère orthonormal, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :
vecteur KP · vecteur KM = 3 × (x − 1) + 0 × 3 = 3x − 3.
vecteur KP · vecteur KM = 3x − 3.
4.
Montrer que si l’angle PKM vaut π/3, alors x est solution de l’équation (E).
Le produit scalaire s’écrit aussi avec les normes et l’angle :
vecteur KP · vecteur KM = KP × KM × cos(angle PKM).
Si l’angle PKM vaut π/3, alors son cosinus vaut 1/2, et avec les questions 1 et 2 :
vecteur KP · vecteur KM = 3 × √((x − 1)² + 9) × 1/2.
D’après la question 3, on obtient : 3x − 3 = (3/2) × √((x − 1)² + 9).
En multipliant les deux membres par 2/3 : 2x − 2 = √((x − 1)² + 9).
Le réel x est donc solution de (E) : √((x − 1)² + 9) = 2x − 2.
Conseil : L’idée à retenir : on écrit le même produit scalaire de deux façons, puis on égale les deux expressions.
5.
Vérifier que 1 + √3 est solution de (E).
On remplace x par 1 + √3 dans chaque membre de (E), séparément.
Membre de gauche : x − 1 = √3, donc (x − 1)² + 9 = 3 + 9 = 12. Le membre de gauche vaut √12 = 2√3.
Membre de droite : 2x − 2 = 2(1 + √3) − 2 = 2 + 2√3 − 2 = 2√3.
Les deux membres sont égaux, donc 1 + √3 est solution de (E).
Les deux membres valent 2√3 : 1 + √3 est solution de (E).
Conseil : Ici, on te demande une vérification. Inutile de résoudre l’équation : il suffit de calculer séparément les deux membres.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Écrire (3x − 2)² = 9x² − 4.
(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.
Le carré d’une différence contient le double produit −2 × 3x × 2.
Répondre 0,05 à la question 5 de l’exercice 1.
P_T̄(A) = 0,05 ÷ 0,4 = 1/8.
0,05 est la probabilité d’une intersection. La question porte sur une probabilité conditionnelle.
Calculer Δ = 1 − 4u² et conclure que l’affirmation 1 est fausse.
Δ = 1 − 4 × 1 × (−u²) = 1 + 4u², qui est toujours strictement positif.
Le coefficient c vaut −u². Le signe moins disparaît dans le produit −4ac.
Écrire f(0) = 1 pour f(x) = eˣ − 1, puis trouver la tangente y = x + 1.
f(0) = e⁰ − 1 = 0, donc la tangente a pour équation y = x.
Le −1 de l’expression de f fait partie du calcul de l’image. Il disparaît seulement dans la dérivée.
Prendre cos(π/3) = √3/2 à la question 4 de l’exercice 3.
cos(π/3) = 1/2.
La valeur √3/2 est celle de cos(π/6). Avec elle, tu ne retrouves pas l’équation (E) annoncée.
Questions fréquentes
Combien de temps dure cette épreuve anticipée de maths ?
Le sujet indique une durée de 2 heures et un coefficient 2. La calculatrice n’est pas autorisée.
Comment les points sont-ils répartis ?
Le QCM d’automatismes vaut 6 points. La deuxième partie vaut 14 points : 5 pour l’exercice de probabilités, 5 pour le vrai ou faux et 4 pour l’exercice de géométrie.
Faut-il justifier toutes les réponses ?
Pas dans le QCM : aucune justification n’y est demandée. Dans l’exercice 2, en revanche, une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
À quel sujet correspond ce corrigé ?
Il traite le sujet 1 de Métropole, de code 26-MATSPEGEME1, daté du vendredi 12 juin 2026. C’est un corrigé non officiel, à comparer avec le sujet disponible sur cette page.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.