L’essentiel
Le patron du cube est une figure plane de 6 carrés identiques qui, une fois pliée, forme un cube sans recouvrement : il en existe 11 différents. Le patron d’un solide montre toutes ses faces à plat. Celui d’un pavé droit compte 6 rectangles, celui d’un cylindre 2 disques et 1 rectangle.
Qu’est-ce qu’un patron de solide ?
Un patron d’un solide est une figure plane, d’un seul tenant, qu’on découpe puis qu’on plie pour obtenir ce solide. Chaque face y apparaît exactement une fois, et aucune ne recouvre une autre.
Imagine une boîte en carton que tu déplies et que tu poses à plat : tu obtiens son patron. Les languettes qui servent à coller ne font pas partie du patron au sens mathématique.
Le patron du cube : les 11 patrons possibles
Un cube a 6 faces carrées : son patron contient donc 6 carrés identiques, reliés par leurs côtés. On peut assembler 6 carrés de 35 façons, sans compter les retournements et les rotations, mais seules 11 se plient en cube.
Pour les retenir, classe-les d’après la longueur de leurs rangées de carrés.
| Rangées | Disposition | Nombre de patrons |
|---|---|---|
| 1-4-1 | Une rangée de 4 carrés, avec un carré de chaque côté de la rangée | 6 |
| 2-3-1 | Une rangée de 3 carrés, une de 2 décalée et un carré isolé de l’autre côté | 3 |
| 2-2-2 | Trois rangées de 2 carrés en escalier | 1 |
| 3-3 | Deux rangées de 3 carrés décalées | 1 |
Astuce : La croix latine, avec une rangée de 4 et un carré de chaque côté au même niveau, est le patron du cube le plus simple à dessiner.
Comment savoir si une figure est un patron du cube
- Compte les carrés : il en faut exactement 6.
- Cherche une rangée de 5 carrés : si elle existe, ce n’est pas un patron, car une rangée de 4 fait déjà le tour du cube.
- Cherche un bloc de 4 carrés en 2 × 2 : si tu en trouves un, ce n’est pas un patron, car seules 3 faces d’un cube se rejoignent en un sommet.
- Dans une rangée de 4, il faut exactement un carré de chaque côté. Deux carrés du même côté se superposeraient au pliage.
- Repère les faces opposées : dans une rangée, deux carrés séparés par un seul carré sont opposés sur le cube.
- Sur une rangée numérotée 1, 2, 3, 4 : la face 1 est opposée à la face 3, et la face 2 à la face 4.
Les patrons du pavé droit, du prisme, du cylindre, de la pyramide et du cône
| Solide | Le patron contient | Point de vigilance |
|---|---|---|
| Patron d’un pavé droit | 6 rectangles, identiques deux à deux | Deux faces voisines ont un côté de même longueur |
| Patron d’un prisme droit | 2 polygones identiques et autant de rectangles que de côtés de la base | Chaque rectangle a pour côtés un côté de la base et la hauteur |
| Patron d’un cylindre | 2 disques et 1 rectangle | La longueur du rectangle est le périmètre du disque |
| Patron d’une pyramide | 1 polygone de base et des triangles | Une pyramide à base carrée : 1 carré et 4 triangles |
| Patron d’un cône | 1 disque et 1 secteur de disque | L’arc du secteur a pour longueur le périmètre de la base |
Calculer les dimensions d’un patron
Avant de tracer un patron, calcule les longueurs qui ne figurent pas sur le dessin du solide. L’aire totale du patron est aussi celle de la surface du solide, ce qui donne la quantité de carton à prévoir.
Rectangle du cylindre : longueur 2 × π × r. Secteur du cône de rayon de base r et de génératrice g : angle 360° × r ÷ g.
- Cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm : le rectangle mesure 10 cm sur 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm.
- Cube d’arête 4 cm : l’aire du patron vaut 6 × 4 × 4 = 96 cm².
- Pavé droit de 3 cm, 2 cm et 4 cm : l’aire vaut 2 × (3 × 2 + 3 × 4 + 2 × 4) = 52 cm².
- Cône de rayon 3 cm et de génératrice 9 cm : l’angle du secteur vaut 360 × 3 ÷ 9 = 120°.
Les erreurs à éviter
Un cube n’a qu’un seul patron : la croix. Un cube a 11 patrons différents.
La croix n’est que le plus connu. Dix autres dispositions de 6 carrés se plient aussi en cube.
Le rectangle du cylindre a pour longueur le diamètre du disque. Sa longueur est le périmètre du disque, 2 × π × r.
Le rectangle s’enroule tout autour du disque : il doit en faire le tour complet.
Six carrés reliés forment toujours un patron du cube. Seules 11 dispositions sur 35 conviennent.
Une rangée de 5 ou un bloc de 2 × 2 empêche le pliage : des faces se superposent.
Exercices corrigés
1. Combien de carrés contient un patron du cube ?
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6. Un cube a 6 faces, et chacune apparaît une fois dans le patron.
2. Combien de patrons différents un cube possède-t-il ?
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11. Il en existe 11, sans compter les rotations et les retournements. Le nombre 35 compte tous les assemblages de 6 carrés.
3. Une figure de 6 carrés contient un bloc de 4 carrés en 2 × 2. Est-ce un patron du cube ?
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Non, jamais. Quatre carrés se touchent en un même point, alors que seules 3 faces d’un cube se rejoignent en un sommet.
4. Dans un patron du cube, une rangée de quatre carrés est numérotée 1, 2, 3, 4. Quelle face est opposée à la face 1 ?
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La face 3. Dans une rangée, deux carrés séparés par un seul carré sont opposés.
5. Un cylindre a un rayon de 5 cm. Quelle est la longueur du rectangle de son patron, arrondie au dixième ?
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31,4 cm. C’est le périmètre du disque : 2 × π × 5 ≈ 31,4 cm.
6. Quelle est l’aire du patron d’un pavé droit de dimensions 5 cm, 3 cm et 2 cm ?
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62 cm². 2 × (5 × 3 + 5 × 2 + 3 × 2) = 2 × 31 = 62 cm². Le nombre 30 est le volume, en cm³.
Questions fréquentes
Combien y a-t-il de patrons pour un cube ?
Un cube a 11 patrons différents. Deux patrons qui se déduisent l’un de l’autre par rotation ou retournement comptent pour un seul.
Comment faire le patron d’un pavé droit ?
Trace quatre rectangles côte à côte qui font le tour du pavé, puis ajoute un rectangle de chaque côté pour le dessus et le dessous. Vérifie que les côtés qui se rejoignent ont la même longueur.
Quel est le patron d’un cylindre ?
Il est formé de deux disques et d’un rectangle. Un côté du rectangle est la hauteur du cylindre, l’autre est le périmètre du disque.
Une sphère a-t-elle un patron ?
Non. Une surface sphérique ne peut pas être mise à plat sans la déformer, c’est pourquoi toute carte du monde déforme une partie de la Terre.