Le sujet en bref
Le sujet d’Amérique du Nord compte cinq exercices : cinq situations indépendantes, un triangle rectangle étudié avec Pythagore, Thalès et la trigonométrie, des statistiques sur les visiteurs et les hôtels d’une ville, un motif « Fleur » programmé, puis une piste d’hippodrome. Il fallait notamment établir OH = 7,2 cm et choisir la marque de gazon la moins chère.
Exercice 1 : cinq situations indépendantes (20 points)
Les situations 1 et 2 ne demandent aucune justification : les explications ci-dessous servent à comprendre. Les situations 3, 4 et 5 doivent être justifiées.
Situation 1
Écrire 780 comme un produit de nombres premiers.
On divise par les nombres premiers dans l’ordre.
780 = 2 × 390
390 = 2 × 195
195 = 3 × 65
65 = 5 × 13
13 est premier : la décomposition est terminée.
780 = 2² × 3 × 5 × 13.
Conseil : Contrôle : 4 × 3 = 12, 12 × 5 = 60 et 60 × 13 = 780.
Situation 2. a.
Donner la probabilité de tirer une carte précise, le 8 de pique.
Le jeu contient 32 cartes, toutes ayant la même chance d’être tirées, et un seul 8 de pique.
La probabilité vaut 1/32.
Situation 2. b.
Donner la probabilité que la carte soit un roi ou un cœur.
Il y a 4 rois et 8 cœurs.
Le roi de cœur est dans les deux groupes : il ne faut le compter qu’une fois.
Nombre de cartes favorables : 4 + 8 − 1 = 11.
La probabilité vaut 11/32.
Situation 3
Écrire A sans parenthèses, sous sa forme la plus simple.
On utilise la double distributivité.
A = 2x × 3x + 2x × (−4) + 5 × 3x + 5 × (−4)
A = 6x² − 8x + 15x − 20
A = 6x² + 7x − 20
A = 6x² + 7x − 20.
Conseil : Contrôle avec x = 1 : (2 + 5)(3 − 4) = −7, et 6 + 7 − 20 = −7.
Situation 4. a.
Calculer le volume du prisme en cm³.
La base du prisme est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 60 cm et 80 cm. Les 100 cm sont la longueur de son hypoténuse.
Aire de la base : (60 × 80) ÷ 2 = 2 400 cm².
La hauteur du prisme est l’arête qui relie les deux triangles : 120 cm.
Volume = aire de la base × hauteur = 2 400 × 120 = 288 000 cm³
Le volume du prisme est de 288 000 cm³.
Conseil : Ici, la longueur de 100 cm ne sert pas : elle ne participe ni à l’aire du triangle rectangle ni à la hauteur du prisme.
Situation 4. b.
Exprimer ce volume en litres.
1 dm³ = 1 000 cm³, donc 288 000 cm³ = 288 000 ÷ 1 000 = 288 dm³.
Comme 1 L = 1 dm³, cela fait 288 L.
Le volume du prisme est de 288 L.
Situation 5
Déduire l’aire du polygone agrandi de celle du polygone de départ.
Dans un agrandissement de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k².
Ici, k = 3, donc les aires sont multipliées par 3² = 9.
Aire du polygone 2 = 11 × 9 = 99 cm²
L’aire du polygone 2 est de 99 cm².
Exercice 2 : triangle rectangle et quadrilatère LOHA (22 points)
La figure de la page 3 n’est pas à l’échelle. Le codage indique un angle droit en O : la droite (OH) est perpendiculaire à (LN).
Question 1
Prouver que le triangle LNA a un angle droit en L.
Le plus grand côté du triangle LNA est [AN].
D’une part : AN² = 13² = 169.
D’autre part : LN² + AL² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Comme AN² = LN² + AL², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est rectangle en L.
Le triangle LNA est rectangle en L.
Conseil : On veut prouver l’angle droit : c’est la réciproque qu’il faut citer, pas le théorème direct.
Question 2
Établir que OH vaut 7,2 cm.
Les droites (OH) et (AL) sont toutes deux perpendiculaires à (LN) : la première d’après le codage, la seconde d’après la question 1.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (OH) et (AL) sont parallèles.
Les points N, O, L et N, H, A sont alignés. D’après le théorème de Thalès :
NO/NL = NH/NA = OH/LA
3/5 = OH/12
OH = (3 × 12) ÷ 5 = 36 ÷ 5 = 7,2 cm
OH = 7,2 cm.
Conseil : Le parallélisme n’est pas donné dans l’énoncé. Tu dois le démontrer avant d’appliquer le théorème de Thalès.
Question 3
Déterminer l’angle LNA, arrondi au degré.
Dans le triangle LNA rectangle en L, [AL] est le côté opposé à l’angle LNA et [LN] est le côté adjacent.
tan(LNA) = AL/LN = 12/5 = 2,4
À la calculatrice : angle LNA ≈ 67,4°.
Contrôle avec le cosinus : cos(LNA) = LN/AN = 5/13, ce qui donne aussi environ 67,4°.
L’angle LNA mesure environ 67°.
Question 4
Justifier la similitude des triangles LNA et ONH.
Les deux triangles ont un angle droit : en L pour LNA, en O pour ONH.
Ils ont aussi en commun l’angle de sommet N.
Deux triangles qui ont deux angles égaux ont aussi le troisième égal, car la somme des angles vaut 180°.
Des triangles qui ont les mêmes angles sont semblables.
Les triangles LNA et ONH sont semblables, car ils ont les mêmes angles.
Conseil : Autre justification possible : d’après la question 2, leurs côtés sont proportionnels, avec le rapport 3/5.
Question 5. a.
Calculer l’aire de LOHA.
Le quadrilatère LOHA est le triangle LNA privé du triangle ONH.
Aire de LNA, rectangle en L : (LN × AL) ÷ 2 = (5 × 12) ÷ 2 = 30 cm².
Aire de ONH, rectangle en O : (ON × OH) ÷ 2 = (3 × 7,2) ÷ 2 = 10,8 cm².
Aire de LOHA = 30 − 10,8 = 19,2 cm²
Contrôle : LOHA est un trapèze de bases 12 cm et 7,2 cm et de hauteur LO = 5 − 3 = 2 cm, et (12 + 7,2) × 2 ÷ 2 = 19,2.
L’aire de LOHA est de 19,2 cm².
Question 5. b.
Exprimer l’aire de LOHA en proportion de celle de LNA.
19,2/30 = 0,64
0,64 = 64/100 = 64 %
Contrôle : les longueurs de ONH valent 3/5 de celles de LNA, donc son aire en vaut (3/5)² = 9/25 = 36 %. Il reste 100 % − 36 % = 64 %.
L’aire de LOHA représente 64 % de l’aire de LNA, soit les 16/25.
Exercice 3 : visiteurs et prix des hôtels (20 points)
La partie A s’appuie sur le diagramme en barres et le tableau de la page 4. La partie B, indépendante, s’appuie sur le tableau des prix.
Partie A, question 1. a.
Lire sur le diagramme la fréquentation de 2010.
Aucune justification n’est demandée. La barre de 2010 s’arrête à la graduation 300 000.
Environ 300 000 visiteurs en 2010.
Partie A, question 1. b.
Repérer l’année du maximum.
Aucune justification n’est demandée. La barre la plus haute est celle de 2019, qui dépasse 400 000.
L’année 2019.
Partie A, question 2
Vérifier si la hausse entre 2020 et 2021 atteint 15 %.
Hausse du nombre de visiteurs : 219 042 − 187 216 = 31 826.
Taux d’évolution : 31 826 ÷ 187 216 ≈ 0,17, soit environ 17 %.
Comme 17 % ≥ 15 %, l’objectif est atteint.
Autre méthode : pour une hausse de 15 %, il fallait au moins 187 216 × 1,15 = 215 298,4 visiteurs. Or 219 042 > 215 298,4.
Oui : le nombre de visiteurs a progressé d’environ 17 %, ce qui dépasse l’objectif de 15 %.
Conseil : Le pourcentage se calcule par rapport à la valeur de départ, celle de 2020.
Partie B, question 3
Calculer l’écart entre le prix le plus haut et le prix le plus bas.
Étendue = 500 − 60 = 440 €
L’étendue des prix est de 440 €.
Partie B, question 4
Calculer le prix moyen d’une nuit, à l’euro près.
C’est une moyenne pondérée par les effectifs.
Effectif total : 1 200 + 1 350 + 1 000 + 1 100 + 1 200 + 1 300 + 900 + 300 = 8 350.
Somme des prix : 60 × 1 200 + 80 × 1 350 + 85 × 1 000 + 90 × 1 100 + 110 × 1 200 + 120 × 1 300 + 350 × 900 + 500 × 300
= 72 000 + 108 000 + 85 000 + 99 000 + 132 000 + 156 000 + 315 000 + 150 000 = 1 117 000 €
Moyenne = 1 117 000 ÷ 8 350 ≈ 133,8 €
Le prix moyen d’une nuit est d’environ 134 €.
Conseil : Si tu fais la moyenne des huit prix sans tenir compte des effectifs, tu obtiens 174,375 € : c’est faux ici, car les prix ne sont pas facturés aussi souvent les uns que les autres.
Partie B, question 5
Vérifier l’annonce des hôteliers sur les nuits à moins de 100 €.
Les prix inférieurs à 100 € sont 60, 80, 85 et 90 €.
Nombre de nuits concernées : 1 200 + 1 350 + 1 000 + 1 100 = 4 650.
La moitié des nuits : 8 350 ÷ 2 = 4 175.
Comme 4 650 ≥ 4 175, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de 100 €.
On peut aussi le dire avec la médiane : les 4 175ᵉ et 4 176ᵉ valeurs sont toutes deux à 90 €, car 3 550 nuits coûtent 85 € ou moins et 4 650 nuits coûtent 90 € ou moins. La médiane vaut donc 90 €, ce qui est inférieur à 100 €.
Oui, c’est vrai : 4 650 nuits sur 8 350, soit environ 56 %, sont facturées à moins de 100 €.
Conseil : La moyenne de 134 € ne contredit pas l’annonce : elle est tirée vers le haut par les nuits à 350 € et à 500 €.
Exercice 4 : motif « Fleur » programmé (20 points)
Le parallélogramme KLMN de la page 5 a pour côtés KL = 35 pas et LM = 20 pas, avec un angle de 120° en L et de 60° en M. Les blocs « Pétale » et « Fleur » sont aux pages 5 et 6.
Question 1. a.
Tracer le parallélogramme à l’échelle de 1 cm pour 5 pas.
Longueurs à l’échelle : 35 ÷ 5 = 7 cm pour [KL] et 20 ÷ 5 = 4 cm pour [LM].
Trace le segment [KL] de 7 cm.
Au rapporteur, place en L un angle KLM de 120°, puis le point M à 4 cm de L.
Place N au compas : à 4 cm de K et à 7 cm de M, du même côté de (KL) que M.
Relie M à N, puis N à K.
Un parallélogramme de côtés 7 cm et 4 cm, avec un angle de 120° en L et de 60° en M.
Conseil : Laisse tes traits de construction apparents.
Question 1. b.
Trouver les quatre valeurs manquantes du bloc « Pétale ».
Aucune justification n’est demandée. Voici le raisonnement.
Le lutin part de K, tourné vers la droite : il avance de 35 pas jusqu’à L.
En L, il tourne vers la gauche. L’angle à tourner complète l’angle intérieur à 180° : 180 − 120 = 60°.
Il avance de 20 pas jusqu’à M.
En M, il tourne encore vers la gauche : 180 − 60 = 120°.
La boucle se répète 2 fois et trace ainsi [MN] et [NK].
Contrôle : 2 × (60 + 120) = 360°, soit un tour complet.
Ligne 4 : 35 ; ligne 5 : 60 ; ligne 6 : 20 ; ligne 7 : 120.
Conseil : L’angle tourné par le lutin n’est pas l’angle intérieur de la figure. Ici, écrire 120 à la ligne 5 et 60 à la ligne 7 serait faux.
Question 2. a.
Trouver le nombre de répétitions dans le bloc « Fleur ».
Aucune justification n’est demandée. Le motif compte 5 pétales, et la boucle en trace un à chaque tour.
Ligne 2 : répéter 5 fois.
Question 2. b.
Dire d’où vient la valeur 72.
Le bloc « Pétale » ramène le lutin à son point de départ et à son orientation de départ, car il y fait un tour complet.
Les 5 pétales doivent se répartir régulièrement sur un tour complet autour du centre, soit 360°.
360 ÷ 5 = 72
Entre deux pétales, le lutin tourne de 360 ÷ 5 = 72 degrés.
Question 2. c.
Adapter les lignes 2 et 4 au nouveau motif.
Aucune justification n’est demandée. Le nouveau motif de la page 6 compte 12 pétales : compte ses pointes extérieures.
L’angle entre deux pétales devient 360 ÷ 12 = 30°.
Ligne 2 : répéter 12 fois ; ligne 4 : tourner de 30 degrés.
Exercice 5 : piste d’hippodrome (18 points)
La piste de la page 7 est formée de deux segments de 850 m et de deux demi-cercles de rayon 40 m.
Question 1
Établir la longueur d’un tour de piste.
Les deux demi-cercles forment un cercle complet de rayon 40 m.
Longueur du cercle : 2 × π × 40 = 80π ≈ 251,3 m.
Longueur des deux lignes droites : 2 × 850 = 1 700 m.
Longueur d’un tour : 1 700 + 251,3 = 1 951,3 m.
Un tour de piste mesure environ 1 951 m.
Question 2. a.
Calculer la vitesse moyenne du cheval en m/s, arrondie à l’unité.
Durée en secondes : 2 min 9 s = 2 × 60 + 9 = 129 s.
v = d ÷ t = 1 951 ÷ 129 ≈ 15,1 m/s
La vitesse moyenne est d’environ 15 m/s.
Conseil : 2 min 9 s n’est pas 2,9 min. Convertis d’abord la durée en secondes.
Question 2. b.
Exprimer cette vitesse en km/h.
À 15 m/s, le cheval parcourt 15 m en 1 s.
En 1 h, soit 3 600 s, il parcourt 15 × 3 600 = 54 000 m.
54 000 m = 54 km
Si tu pars de la valeur non arrondie, tu trouves 1 951 ÷ 129 × 3,6 ≈ 54,4 km/h. Ici, « cette vitesse » renvoie à la valeur arrondie de la question a. : on retient 54 km/h.
La vitesse est d’environ 54 km/h.
Question 3
Trouver la marque la moins chère pour couvrir 73 027 m².
Pour chaque marque, on divise la surface par la couverture d’un sac, puis on arrondit à l’entier supérieur : un sac ne s’achète pas en partie.
Marque A : 73 027 ÷ 500 = 146,054, donc 147 sacs. Coût : 147 × 141,95 = 20 866,65 €.
Marque B : 73 027 ÷ 400 ≈ 182,6, donc 183 sacs. Coût : 183 × 87,90 = 16 085,70 €.
Marque C : 73 027 ÷ 300 ≈ 243,4, donc 244 sacs. Coût : 244 × 66,50 = 16 226 €.
Le coût le plus bas est celui de la marque B.
Il faut choisir la marque B : 183 sacs pour 16 085,70 €.
Conseil : Même à 146,054, il faut 147 sacs : avec 146 sacs, une partie de la surface resterait sans gazon.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, situation 2. b. : répondre 12/32, en additionnant 4 rois et 8 cœurs.
Compter 4 + 8 − 1 = 11 cartes : la probabilité vaut 11/32.
Le roi de cœur est à la fois un roi et un cœur. Il ne doit compter qu’une fois.
Exercice 1, situation 5 : répondre 11 × 3 = 33 cm².
Multiplier l’aire par 3² = 9 : 99 cm².
Le coefficient 3 s’applique aux longueurs. Les aires sont multipliées par son carré.
Exercice 4, question 1. b. : écrire 120 à la ligne 5 et 60 à la ligne 7.
Écrire 60 à la ligne 5 et 120 à la ligne 7.
Le lutin tourne de l’angle qui complète l’angle intérieur à 180°.
Exercice 5, question 2. a. : prendre 2,9 min ou 209 s comme durée.
Convertir : 2 min 9 s = 129 s.
Une minute vaut 60 secondes : le système n’est pas décimal.
Exercice 5, question 3 : garder 146 sacs de la marque A, ou comparer sans arrondir le nombre de sacs.
Arrondir à l’entier supérieur : 147, 183 et 244 sacs.
On ne peut acheter que des sacs entiers, et la surface doit être couverte en totalité.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2023 d’Amérique du Nord ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 20 points, l’exercice 2 en vaut 22, les exercices 3 et 4 en valent 20 chacun et l’exercice 5 en vaut 18.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
Les situations 1 et 2 de l’exercice 1, les questions 1. a. et 1. b. de l’exercice 3, ainsi que les questions 1. b., 2. a. et 2. c. de l’exercice 4. Partout ailleurs, il faut justifier.
La calculatrice est-elle autorisée pour ce sujet ?
Oui : le sujet autorise la calculatrice avec le mode examen activé ou la calculatrice sans mémoire de type collège. Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.