Le sujet en bref
Le sujet d’Amérique du Nord compte cinq exercices à 20 points : cinq situations courtes (probabilité, nombres premiers, pourcentage, agrandissement, statistiques), une figure avec Pythagore, Thalès et la tangente, deux programmes de calcul, la lecture d’une course sur un graphique et un dessin aléatoire sur Scratch. Il fallait surtout enchaîner les résultats de géométrie et résoudre une équation produit.
Exercice 1 : cinq situations indépendantes (20 points)
Chaque situation se traite seule. Seule la situation 2 dispense de justifier : pour les autres, écris ton calcul.
Situation 1
Trouver la probabilité de tirer une boule verte dans l’urne de 40 boules.
Les boules sont indiscernables au toucher : chacune a la même probabilité d’être tirée.
Il y a 20 boules vertes sur 40 boules.
P(verte) = 20/40 = 1/2
La probabilité d’obtenir une boule verte est 1/2.
Situation 2
Écrire 1050 comme un produit de nombres premiers.
Aucune justification n’est demandée. Voici les divisions successives pour retrouver le résultat.
1050 = 2 × 525
525 = 3 × 175
175 = 5 × 35
35 = 5 × 7
Vérification : 2 × 3 × 25 × 7 = 6 × 175 = 1050.
1050 = 2 × 3 × 5² × 7
Situation 3
Déterminer le nouveau prix d’un article de 25 € qui augmente de 14 %.
Augmenter de 14 %, c’est multiplier par 1 + 14/100 = 1,14.
25 × 1,14 = 28,50 €
Autre calcul : 14 % de 25 € valent 25 × 14/100 = 3,50 €, et 25 + 3,50 = 28,50 €.
Le nouveau prix est 28,50 €.
Situation 4
Déduire l’aire du polygone 2 de celle du polygone 1, avec un agrandissement de coefficient 2,5.
Dans un agrandissement de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k².
Ici, k = 2,5, donc k² = 2,5² = 6,25.
Aire du polygone 2 = 7,5 × 6,25 = 46,875 cm²
L’aire du polygone 2 est 46,875 cm².
Conseil : Le piège est de calculer 7,5 × 2,5 = 18,75. Le coefficient 2,5 s’applique aux longueurs. Pour une aire, il faut l’élever au carré.
Situation 5. a)
Calculer la taille moyenne des élèves à partir du tableau d’effectifs.
Il s’agit d’une moyenne pondérée par les effectifs.
Effectif total : 2 + 4 + 2 + 5 + 2 + 4 + 6 + 5 = 30 élèves.
Somme des tailles : 152 × 2 + 157 × 4 + 160 × 2 + 162 × 5 + 165 × 2 + 170 × 4 + 174 × 6 + 180 × 5
= 304 + 628 + 320 + 810 + 330 + 680 + 1 044 + 900 = 5 016
Moyenne = 5 016 ÷ 30 = 167,2 cm
La taille moyenne est 167,2 cm.
Conseil : Divise par l’effectif total (30), pas par le nombre de colonnes du tableau (8).
Situation 5. b)
Trouver la taille médiane de la classe.
L’effectif, 30, est pair. La médiane se situe entre la 15ᵉ et la 16ᵉ valeur de la série rangée dans l’ordre croissant.
Le tableau est déjà rangé. Effectifs cumulés : 2, 6, 8, 13, 15, 19, 25, 30.
La 15ᵉ valeur est donc 165 cm, et la 16ᵉ est 170 cm.
Médiane = (165 + 170)/2 = 167,5 cm
La médiane est 167,5 cm.
Conseil : Les effectifs cumulés évitent de réécrire les 30 tailles. Ici, le passage de 165 à 170 tombe exactement entre la 15ᵉ et la 16ᵉ valeur : il faut prendre le milieu des deux.
Exercice 2 : Pythagore, Thalès et tangente (20 points)
La figure de la page 3 n’est pas en vraie grandeur. Les triangles ADE et ABC sont rectangles en E et en B, et se font face de part et d’autre de A, avec AD = 70 m, AC = 50 m, BC = 30 m et un angle DME de 60°.
Question 1
Trouver la longueur du côté [AB].
Le triangle ABC est rectangle en B et son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
50² = AB² + 30²
AB² = 2 500 − 900 = 1 600
AB = √1 600 = 40 m
AB = 40 m.
Question 2
Prouver le parallélisme de (DE) et (BC).
Le triangle ADE est rectangle en E, donc (DE) est perpendiculaire à (AE).
Le triangle ABC est rectangle en B, donc (BC) est perpendiculaire à (AB).
Les points A, B, E et M sont alignés : (AE) et (AB) sont la même droite.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Conseil : Ici, inutile d’utiliser la réciproque de Thalès : tu ne connais pas encore AE. La propriété des deux perpendiculaires suffit, à condition de citer les angles droits et l’alignement.
Question 3
Établir que DE vaut 42 m.
Les droites (EB) et (DC) se coupent en A et les droites (DE) et (BC) sont parallèles (question 2). D’après le théorème de Thalès :
AD/AC = AE/AB = DE/BC
70/50 = AE/40 = DE/30
Donc DE = 30 × 70 ÷ 50 = 2 100 ÷ 50 = 42 m.
Contrôle : la même égalité donne AE = 40 × 70 ÷ 50 = 56 m, et 56² + 42² = 3 136 + 1 764 = 4 900 = 70². Le triangle ADE est bien cohérent avec l’énoncé.
DE = 42 m.
Conseil : Le point A est entre les deux triangles : c’est la configuration « papillon ». Les côtés du grand triangle sont AD, AE et DE, ceux du petit AC, AB et BC.
Question 4
Vérifier la valeur approchée de EM, environ 24,2 m.
Le point M est sur la droite (AE), donc le triangle DEM est rectangle en E.
Pour l’angle DME, [DE] est le côté opposé et [EM] le côté adjacent.
tan(DME) = DE/EM
tan(60°) = 42/EM
EM = 42 ÷ tan(60°) ≈ 24,249 m, soit environ 24,2 m au dixième.
EM ≈ 24,2 m, comme annoncé.
Conseil : Écris d’abord la formule avec les lettres, puis isole EM : il se trouve au dénominateur, donc on divise 42 par tan(60°). Vérifie aussi que ta calculatrice est réglée en degrés.
Question 5
Se servir des résultats précédents pour obtenir l’aire du triangle AMD.
Prenons [AM] comme base. La droite (DE) est perpendiculaire à (AM), donc [DE] est la hauteur issue de D.
On a trouvé AE = 56 m à la question 3 (on peut aussi l’obtenir par Pythagore : AE² = 70² − 42² = 3 136).
Sur la figure, M est entre E et A, donc AM = AE − EM ≈ 56 − 24,2 = 31,8 m.
Aire de AMD = (AM × DE)/2 ≈ (31,8 × 42)/2 = 667,8 m²
Autre calcul : aire de ADE − aire de DEM ≈ (56 × 42)/2 − (24,2 × 42)/2 = 1 176 − 508,2 = 667,8 m².
Avec la valeur de EM non arrondie, la calculatrice donne environ 666,8 m². L’écart vient seulement de l’arrondi de EM.
L’aire du triangle AMD vaut environ 667,8 m² avec EM ≈ 24,2 m.
Conseil : Le triangle AMD n’est pas rectangle, mais sa hauteur issue de D tombe à l’extérieur du côté [AM], en E. C’est bien DE qui sert de hauteur, pas DM ni AD. Comme EM est arrondi, écris « environ ».
Exercice 3 : deux programmes de calcul (20 points)
Le programme A multiplie par 3, ajoute 15, divise par 3, puis retire le nombre de départ. Le programme B calcule deux résultats en parallèle (moins 1 et moins 6), les multiplie, puis ajoute 5.
Question 1
Dérouler le programme A à partir de 4.
4 × 3 = 12
12 + 15 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 − 4 = 5
On obtient bien 5.
Question 2
Dérouler le programme A à partir de −2.
−2 × 3 = −6
−6 + 15 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 − (−2) = 3 + 2 = 5
On obtient encore 5.
Conseil : À la dernière étape, on soustrait un nombre négatif : c’est une addition.
Question 3
Prouver que le résultat du programme A ne dépend pas du nombre choisi.
On note x le nombre de départ. Le programme donne successivement :
3x, puis 3x + 15
(3x + 15) ÷ 3 = x + 5
x + 5 − x = 5
Le résultat vaut 5 pour toute valeur de x.
Le programme A donne toujours 5.
Conseil : Les deux exemples des questions 1 et 2 ne prouvent rien pour tous les nombres. Seul le calcul avec x le démontre.
Question 4
Appliquer le programme B au nombre 10.
Branche de gauche : 10 − 1 = 9
Branche de droite : 10 − 6 = 4
Produit : 9 × 4 = 36
Dernière étape : 36 + 5 = 41
On obtient 41.
Question 5
Trouver les deux nombres de départ pour lesquels A et B donnent le même résultat.
Avec un nombre de départ x, le programme B donne (x − 1)(x − 6) + 5.
Le programme A donne toujours 5. On résout donc l’équation (x − 1)(x − 6) + 5 = 5.
En retirant 5 de chaque côté : (x − 1)(x − 6) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
x − 1 = 0 ou x − 6 = 0
x = 1 ou x = 6
Vérification : pour 1, le programme B donne 0 × (−5) + 5 = 5. Pour 6, il donne 5 × 0 + 5 = 5.
Les deux nombres sont 1 et 6.
Conseil : Ne développe pas : l’écriture factorisée donne la solution tout de suite. C’est une équation produit.
Exercice 4 : la course de Malo, graphique et vitesse (20 points)
Le graphique de la page 5 donne la distance parcourue par Malo en fonction du temps. Sur l’axe vertical, chaque petit carreau vaut 0,5 km. La courbe finit à 13,5 km au bout de 80 minutes.
Question 1
Dire si la distance parcourue est proportionnelle au temps.
Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l’origine.
Ici, la courbe passe par l’origine, mais ce n’est pas une droite : elle est formée de segments de pentes différentes, dont un palier horizontal entre 30 et 40 minutes.
Exemple chiffré : en 10 min, Malo parcourt 2 km. S’il y avait proportionnalité, il aurait parcouru 8 km en 40 min. Le graphique indique 6,5 km.
Non, le temps et la distance ne sont pas proportionnels.
Question 2
Lire la distance atteinte à 20 minutes.
On part de 20 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée. Le point se trouve à mi-chemin entre 4 et 5.
Au bout de 20 minutes, Malo a parcouru 4,5 km.
Question 3
Lire la durée nécessaire pour atteindre 9 km.
On part de 9 sur l’axe vertical, on va jusqu’à la courbe, puis on descend sur l’axe horizontal. On lit 50.
Malo a mis 50 minutes pour faire les 9 premiers kilomètres.
Question 4
Calculer la vitesse moyenne de Malo sur tout le parcours, arrondie au dixième de km/h.
Le graphique montre que les 13,5 km sont parcourus en 80 minutes.
80 min = 80/60 h = 4/3 h
v = d/t = 13,5 ÷ (4/3) = 13,5 × 3/4 = 10,125 km/h
Autre calcul : en 80 min, il fait 13,5 km. En 60 min, à ce rythme, il fait 13,5 × 60 ÷ 80 = 10,125 km.
La vitesse moyenne de Malo est d’environ 10,1 km/h.
Conseil : Une vitesse moyenne se calcule avec la distance totale et la durée totale, palier de 10 minutes compris. Et 80 min ne valent pas 1,20 h : il faut diviser par 60.
Question 5. a.
Déterminer qui, de Louise ou Hillal, arrive en tête.
Comme ils partent en même temps sur la même distance, le plus rapide arrive le premier. Louise court à 12 km/h et Hillal à 10 km/h.
On peut le vérifier avec t = d/v.
Louise : 13,5 ÷ 12 = 1,125 h, soit 1 h 7 min 30 s.
Hillal : 13,5 ÷ 10 = 1,35 h, soit 1 h 21 min.
Louise franchit la ligne d’arrivée la première.
Question 5. b.
Calculer l’écart entre les deux coureurs à l’arrivée de la première.
Louise arrive au bout de 1,125 h. Pendant cette durée, Hillal a parcouru d = v × t = 10 × 1,125 = 11,25 km.
Il lui reste 13,5 − 11,25 = 2,25 km.
Vérification : Louise gagne 2 km sur Hillal à chaque heure, et 2 × 1,125 = 2,25 km.
Louise et Hillal sont séparés de 2,25 km.
Conseil : Ne confonds pas les deux écarts : la question porte sur une distance à l’instant où Louise arrive, pas sur la différence entre les temps d’arrivée.
Exercice 5 : motifs, script Scratch et probabilité (20 points)
Aucune justification n’est demandée sur la copie : les explications ci-dessous servent à comprendre. Les scripts sont aux pages 6 et 7 du sujet, les captures d’écran à la page 8.
Partie 1, question 1
Relier les scripts 1 et 2 aux dessins proposés.
Le script 1 répète 3 fois « avancer de 30 pas, tourner de 120 degrés ». Il trace 3 côtés égaux, et 3 × 120° = 360° : c’est un triangle équilatéral.
Le script 2 répète 6 fois « avancer de 30 pas, tourner de 60 degrés ». Il trace 6 côtés égaux, et 6 × 60° = 360° : c’est un hexagone régulier.
Le script 1 correspond au dessin 2 (triangle) et le script 2 au dessin 1 (hexagone).
Partie 1, question 2
Remettre dans l’ordre les instructions A, B et C qui manquent au script 3.
Le lutin part de l’angle de 120°, vers la droite, et avance de 30 pas : il arrive au sommet où l’angle du losange mesure 60°.
Pour tracer le côté suivant, il doit tourner de 180° − 60° = 120° : c’est l’instruction B.
Il avance ensuite de 30 pas : c’est l’instruction C. Il arrive à un sommet où l’angle du losange mesure 120°.
Il tourne alors de 180° − 120° = 60° : c’est l’instruction A.
La boucle se répète 2 fois, et 2 × (120° + 60°) = 360° : le lutin revient à son point de départ, dans sa direction de départ.
L’ordre est B, C, A : tourner de 120 degrés, avancer de 30 pas, tourner de 60 degrés.
Conseil : Le lutin tourne de l’angle extérieur, pas de l’angle du losange. Si tu inverses, en mettant 60 degrés en premier, le losange penche de l’autre côté et ne correspond plus à la figure.
Partie 2, question 3
Lire dans le script principal où démarre le lutin.
Juste après le drapeau vert, l’instruction « aller à x: −200 y: 0 » place le lutin.
Le point de départ a pour coordonnées (−200 ; 0).
Partie 2, question 4
Repérer les deux captures d’écran que le script principal peut produire.
Si la variable Motif vaut 3, le lutin dessine 6 fois le losange. Entre deux losanges, il avance de 60 pas. Le losange a 30 pas de côté et le stylo est relevé à la fin du Motif 3 : il reste donc un espace vide de 30 pas, sans trait.
C’est la capture n° 2 : six losanges séparés, avec le message « Voici le dessin ! ».
Si la variable vaut 1 ou 2, rien n’est dessiné et le lutin dit « Perdu ! » à son point de départ : c’est la capture n° 3.
La capture n° 1 montre des losanges collés, la n° 4 seulement trois losanges, et la n° 5 une rosace : le script ne fait rien de tout cela.
Les deux captures possibles sont les n° 2 et n° 3.
Partie 2, question 5
Trouver la probabilité que le lutin annonce le dessin après un clic.
La variable Motif prend au hasard l’une des 3 valeurs 1, 2 ou 3 : les trois cas sont équiprobables.
Le message « Voici le dessin ! » s’affiche dans un seul cas, quand Motif vaut 3.
La probabilité est 1/3.
Partie 2, question 6. a)
Calculer la fréquence du message « Voici le dessin ! » sur les 100 lancers.
Fréquence = effectif ÷ effectif total = 40 ÷ 100 = 0,4
La fréquence est 0,4, soit 40 %.
Partie 2, question 6. b)
Expliquer l’écart entre cette fréquence et la probabilité de la question 5.
La probabilité 1/3 ≈ 0,33 est une valeur théorique. La fréquence 0,4 est observée sur une expérience réelle, soumise au hasard : elle varie d’une série de lancers à l’autre.
La fréquence se rapproche de la probabilité quand le nombre de lancers devient très grand. 100 lancers ne suffisent pas à garantir l’égalité.
Avec 100 lancers, l’égalité exacte est même impossible, car 100 ÷ 3 n’est pas un nombre entier.
La fréquence dépend du hasard de l’échantillon. Elle s’approche de 1/3 quand le nombre de lancers augmente beaucoup.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, situation 4 : calculer 7,5 × 2,5 = 18,75 cm².
Multiplier l’aire par 2,5² : 7,5 × 6,25 = 46,875 cm².
Quand les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k².
Exercice 1, situation 5 : diviser la somme des tailles par 8, ou donner 165 comme médiane.
Diviser par 30 pour la moyenne, et prendre le milieu de la 15ᵉ et de la 16ᵉ valeur pour la médiane : 167,5 cm.
Le tableau regroupe 30 élèves en 8 colonnes : chaque taille compte autant de fois que son effectif.
Exercice 2, question 5 : prendre [DM] ou [AD] comme hauteur du triangle AMD.
Prendre la base [AM] et la hauteur [DE], qui est perpendiculaire à (AM).
Une hauteur est perpendiculaire à la droite qui porte la base, même si son pied est hors du côté.
Exercice 3, question 5 : oublier le « ajouter 5 » du programme B et résoudre (x − 1)(x − 6) = 5.
Écrire (x − 1)(x − 6) + 5 = 5, donc (x − 1)(x − 6) = 0.
Le programme B se termine par + 5 : une fois ce 5 retiré des deux côtés, on obtient une équation produit, qui donne les deux solutions.
Exercice 4, question 4 : écrire 80 min = 1,20 h, ce qui donne 11,25 km/h.
Écrire 80 min = 80/60 h = 4/3 h, ce qui donne environ 10,1 km/h.
Une heure compte 60 minutes : 1 h 20 min n’est pas 1,20 h.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2025 d’Amérique du Nord ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
Les cinq exercices valent chacun 20 points.
Quelles questions n’ont pas besoin de justification ?
La situation 2 de l’exercice 1, les questions 2 et 3 de l’exercice 4, et tout l’exercice 5. Partout ailleurs, il faut justifier.
La calculatrice est-elle autorisée pour ce sujet ?
Oui : la calculatrice avec le mode examen activé ou la calculatrice sans mémoire, « type collège ». Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.