Le sujet en bref
Cinq exercices indépendants : des urnes et des probabilités, un aquathlon qui mobilise Pythagore, Thalès, la trigonométrie, la médiane et la vitesse, un QCM de six questions, deux programmes de calcul dont un sur Scratch, et la comparaison d’un achat et d’une location de voiture avec un tableur et des fonctions.
Exercice 1 : urnes et probabilités (20 points)
L’urne A contient 6 boules (7, 10, 12, 15, 24, 30) et l’urne B en contient 9 (2, 5, 6, 8, 17, 18, 21, 22, 25). Les boules sont indiscernables au toucher : les tirages sont équiprobables.
Question 1
Calculer la probabilité de tirer un nombre pair dans l’urne A.
Les boules sont indiscernables au toucher, donc chaque boule a la même probabilité d’être tirée.
Dans l’urne A, les nombres pairs sont 10, 12, 24 et 30 : il y en a 4 sur 6 boules.
P(pair) = 4/6 = 2/3
La probabilité d’obtenir un nombre pair est 2/3.
Question 2
Justifier que la probabilité de tirer un nombre premier dans l’urne B vaut 1/3.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Dans l’urne B, les nombres premiers sont 2, 5 et 17.
Les autres ne le sont pas : 6, 8, 18 et 22 sont pairs et différents de 2, 21 = 3 × 7 et 25 = 5 × 5.
Il y a donc 3 nombres premiers sur 9 boules : P(premier) = 3/9 = 1/3.
La probabilité vaut bien 1/3.
Conseil : Le piège est 2 : c’est le seul nombre premier pair. À l’inverse, 21 et 25 sont impairs sans être premiers : écris leur décomposition pour le prouver.
Question 3
Trouver l’urne qui contient le plus de multiples de 6.
Urne A : 12 = 6 × 2, 24 = 6 × 4 et 30 = 6 × 5. Cela fait 3 multiples de 6.
Urne B : 6 = 6 × 1 et 18 = 6 × 3. Cela fait 2 multiples de 6.
C’est l’urne A qui contient le plus de boules portant un multiple de 6 (3 contre 2).
Question 4
Montrer que les deux urnes donnent la même probabilité de tirer un numéro au moins égal à 20.
Urne A : les nombres supérieurs ou égaux à 20 sont 24 et 30, donc 2 boules sur 6.
P = 2/6 = 1/3
Urne B : les nombres supérieurs ou égaux à 20 sont 21, 22 et 25, donc 3 boules sur 9.
P = 3/9 = 1/3
Dans les deux urnes, la probabilité vaut 1/3 : elle ne dépend pas de l’urne choisie.
Question 5
Dire si l’égalité reste vraie quand on ajoute une boule numérotée 50 dans chaque urne.
On repart des urnes de départ. L’urne A contient maintenant 7 boules et l’urne B 10 boules.
La boule 50 s’ajoute aux nombres supérieurs ou égaux à 20 : il y en a 3 dans l’urne A et 4 dans l’urne B.
Urne A : P = 3/7 ≈ 0,43
Urne B : P = 4/10 = 0,4
Pour comparer sans arrondi : 3/7 = 30/70 et 4/10 = 28/70, donc 3/7 ≠ 4/10.
Non : les probabilités ne sont plus égales. L’urne A (3/7) est un peu plus favorable que l’urne B (2/5).
Conseil : Ajouter une boule change le nombre de boules favorables, mais aussi le nombre total de boules. Ici, il faut donc modifier le numérateur et le dénominateur.
Exercice 2 : aquathlon, de Pythagore à la vitesse (23 points)
La partie A s’appuie sur la figure de la page 3 du sujet, qui n’est pas à l’échelle : le triangle ADC est rectangle en A, avec AC = 480 m, CB = 120 m, AE = 250 m et DE = 50 m. La partie B porte sur les temps de 9 élèves sur 200 m.
Partie A, question 1
Retrouver la longueur AD à partir de AE et de DE.
Les points A, D, E sont alignés et D appartient au segment [AE], donc AD = AE − DE.
AD = 250 − 50 = 200 m
AD = 200 m.
Partie A, question 2
Trouver la longueur du segment [CD].
Le triangle ADC est rectangle en A et son hypoténuse est [CD]. D’après le théorème de Pythagore :
CD² = AC² + AD²
CD² = 480² + 200²
CD² = 230 400 + 40 000 = 270 400
CD = √270 400 = 520 m
CD = 520 m.
Conseil : Le correcteur attend les trois éléments : le triangle rectangle cité, le nom du théorème et l’égalité écrite avec les bonnes lettres avant de remplacer par les nombres.
Partie A, question 3. a)
Dire si les droites (CD) et (BE) sont parallèles.
Les points A, C, B sont alignés dans cet ordre, comme les points A, D, E.
On calcule d’abord AB = AC + CB = 480 + 120 = 600 m.
AC/AB = 480/600 = 0,8
AD/AE = 200/250 = 0,8
On a AC/AB = AD/AE et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont parallèles.
Oui, les droites (CD) et (BE) sont parallèles.
Conseil : Calcule les deux quotients séparément, puis compare-les. Écrire directement l’égalité revient à supposer ce que tu dois démontrer. N’oublie pas de préciser l’ordre des points.
Partie A, question 3. b)
Dire si l’angle ACD mesure plus de 20°.
Dans le triangle ADC rectangle en A, pour l’angle ACD, [AD] est le côté opposé et [AC] le côté adjacent.
tan(ACD) = AD/AC = 200/480 = 5/12
À la calculatrice, l’angle ACD mesure environ 22,6°.
Vérification avec le cosinus : cos(ACD) = AC/CD = 480/520 = 12/13, ce qui redonne environ 22,6°.
L’angle ACD mesure environ 22,6°, donc plus de 20°.
Conseil : Avant d’utiliser les touches de la calculatrice, vérifie qu’elle est réglée en degrés.
Partie A, question 3. c)
Conclure sur la validation du parcours.
Les deux conditions sont remplies : (CD) et (BE) sont parallèles, et l’angle ACD mesure plus de 20°.
Le parcours est validé.
Partie B, question 4
Donner le temps médian de la série.
Les 9 temps sont déjà rangés dans l’ordre croissant.
L’effectif est impair : la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 5ᵉ, avec 4 valeurs avant et 4 valeurs après.
La 5ᵉ valeur est 6 min.
Le temps médian est 6 min.
Partie B, question 5
Comparer la vitesse d’un poisson rouge à 5 km/h avec celle de l’élève le plus rapide.
L’élève le plus rapide est celui qui a le temps le plus court : 5 min 30 s, soit 5 × 60 + 30 = 330 s.
Sa vitesse est v = d/t = 200/330 ≈ 0,606 m/s.
Pour passer en km/h, on multiplie par 3,6 : 0,606 × 3,6 ≈ 2,18 km/h.
Comme 5 km/h > 2,18 km/h, le poisson rouge est plus rapide.
Autre méthode : à 5 km/h, le poisson parcourt 5 000 m en 3 600 s. Il met donc 200 × 3 600 ÷ 5 000 = 144 s pour parcourir 200 m, soit 2 min 24 s, bien moins que 5 min 30 s.
Oui : le poisson rouge (5 km/h) nage plus vite que l’élève le plus rapide (environ 2,2 km/h).
Conseil : 5 min 30 s ne vaut pas 5,30 min : 30 s, c’est une demi-minute, donc 5,5 min. Convertis en secondes pour éviter ce piège.
Exercice 3 : QCM (18 points)
Aucune justification n’est demandée sur la copie : il suffit d’écrire le numéro de la question et la lettre. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Trouver le prix de 5 melons, connaissant le prix de 3.
Le prix est proportionnel au nombre de melons. Un melon coûte 8,40 ÷ 3 = 2,80 €.
5 melons coûtent 5 × 2,80 = 14 €.
Réponse C : 14 €.
Question 2
Identifier la transformation qui envoie la figure 1 sur la figure 2.
Le côté horizontal qui part de la pointe de la figure 1 devient un côté vertical sur la figure 2. Les directions changent, donc ce n’est ni une translation ni une symétrie centrale.
Regardons le sens de chaque figure, en se plaçant à sa pointe en bas à gauche. Sur la figure 1, si on regarde le long du côté horizontal, le long côté oblique est sur la gauche. Sur la figure 2, si on regarde le long du côté vertical, le long côté oblique est sur la droite.
Le sens est inversé : une rotation ne le ferait pas. C’est un retournement.
Les deux figures se superposent par pliage le long d’une droite oblique, qui monte vers la droite en suivant les diagonales du quadrillage et passe entre elles à égale distance.
Réponse D : une symétrie axiale.
Question 3
Calculer le prix d’un article de 350 € après une hausse de 20 %.
Augmenter de 20 %, c’est multiplier par 1 + 20/100 = 1,2.
350 × 1,2 = 420 €
Autre calcul : 20 % de 350 € valent 70 €, et 350 + 70 = 420 €.
Réponse A : 420 €.
Question 4
Calculer l’aire du triangle ABC, rectangle en B.
L’angle droit est en B : les côtés de l’angle droit sont [AB] et [BC]. [AC], qui mesure 7,5 cm, est l’hypoténuse et ne sert pas au calcul.
Aire = (AB × BC)/2 = (6 × 4,5)/2 = 27/2 = 13,5 cm²
Réponse B : 13,5 cm².
Question 5
Développer et réduire (2x + 3)(x − 4).
(2x + 3)(x − 4) = 2x × x + 2x × (−4) + 3 × x + 3 × (−4)
= 2x² − 8x + 3x − 12
= 2x² − 5x − 12
Réponse A : 2x² − 5x − 12.
Question 6
Calculer le volume de la pyramide à base rectangulaire de la figure.
La base est un rectangle de 7 cm sur 4 cm et la hauteur mesure 12 cm.
Aire de la base : 7 × 4 = 28 cm²
Volume = (aire de la base × hauteur)/3 = (28 × 12)/3 = 336/3 = 112 cm³
Réponse B : 112 cm³.
Conseil : La réponse C (336 cm³) correspond à l’oubli de la division par 3. Elle donne le volume d’un pavé droit, pas celui d’une pyramide.
Exercice 4 : programmes de calcul et Scratch (20 points)
Le programme de Zoé soustrait 4, multiplie par 2, puis ajoute 8. Celui de Fred, sur Scratch (page 6 du sujet), multiplie par 4, ajoute 10, puis multiplie par 5.
Partie A, question 1
Vérifier que 10 donne 20 avec le programme de Zoé.
10 − 4 = 6
6 × 2 = 12
12 + 8 = 20
On obtient bien 20.
Partie A, question 2
Calculer le résultat du programme de Zoé pour −7.
−7 − 4 = −11
−11 × 2 = −22
−22 + 8 = −14
On obtient −14.
Partie A, question 3
Dire si le programme de Zoé donne toujours le double du nombre de départ.
On note x le nombre de départ. Le programme donne successivement x − 4, puis 2(x − 4), puis 2(x − 4) + 8.
2(x − 4) + 8 = 2x − 8 + 8 = 2x
Le résultat est 2x pour toute valeur de x.
Zoé a raison : le résultat est toujours le double du nombre de départ.
Conseil : Les exemples 10 et −7 ne suffisent pas à prouver une propriété vraie pour tous les nombres. Seul le calcul littéral avec x le démontre.
Partie B, question 4
Démontrer que le programme de Fred donne 20x + 50 pour un nombre de départ x.
La variable résultat prend d’abord la valeur 4x.
Elle devient ensuite 4x + 10.
Elle est enfin multipliée par 5 : (4x + 10) × 5 = 4x × 5 + 10 × 5 = 20x + 50.
Le programme de Fred donne bien 20x + 50.
Conseil : Le 5 multiplie toute l’expression 4x + 10. Mets des parenthèses avant de développer.
Partie B, question 5
Trouver le nombre de départ qui donne 75.
On résout l’équation 20x + 50 = 75.
20x = 75 − 50 = 25
x = 25/20 = 1,25
Vérification : 1,25 × 4 = 5, puis 5 + 10 = 15, puis 15 × 5 = 75.
Il faut choisir 1,25.
Partie B, question 6
Compléter la sixième ligne du script pour que le résultat soit toujours 20 fois le nombre de départ.
Après les lignes déjà écrites, la variable résultat vaut 20x + 50. Pour obtenir 20x, il faut retirer 50.
La sixième ligne devient : mettre résultat à (résultat) − (50).
Vérification avec 1 : 1 × 4 = 4, puis 4 + 10 = 14, puis 14 × 5 = 70, puis 70 − 50 = 20, qui vaut bien 20 × 1.
mettre résultat à (résultat) − (50)
Conseil : Écrire seulement « 50 » ne suffit pas : le premier emplacement doit contenir la variable résultat, sinon le script ne calcule pas ce qu’on veut.
Exercice 5 : achat ou location, tableur et fonctions (19 points)
L’achat coûte 22 400 €, plus 75 € d’assurance chaque mois. La location revient à 425 € par mois, assurance incluse.
Partie A, question 1
Montrer que l’option Achat revient à 23 300 € au bout d’un an.
Une année compte 12 mois. L’assurance coûte 12 × 75 = 900 €.
22 400 + 900 = 23 300 €
La dépense à la fin de la première année est bien de 23 300 €.
Partie A, question 2
Calculer l’économie réalisée en 36 mois avec la location.
Option Achat : 22 400 + 36 × 75 = 22 400 + 2 700 = 25 100 €.
Option Location : 36 × 425 = 15 300 €.
Économie : 25 100 − 15 300 = 9 800 €.
Le client économise 9 800 € après 36 mois.
Conseil : Le tableau de la question suivante confirme ton calcul : la cellule D2 affiche 25100 pour 36 mois.
Partie A, question 3
Donner la formule à saisir en B3 pour remplir la ligne 3 jusqu’à F3.
La dépense en location vaut 425 € multipliés par le nombre de mois, qui se trouve en ligne 1.
Dans la cellule B3, on saisit : =425*B1
En étendant la formule vers la droite, B1 devient C1, D1, E1 puis F1. On obtient 5 100, 10 200, 15 300, 20 400 et 25 500.
=425*B1 (ou =B1*425)
Conseil : Une formule de tableur commence par le signe égal et utilise la référence de la cellule. Écrire =425*12 ne donnerait pas le bon résultat une fois étendu.
Partie B, question 4
Exprimer f(x), la dépense de l’option Achat après x mois.
Le prix d’achat est payé une seule fois : 22 400 €. L’assurance coûte 75 € chaque mois, donc 75x pour x mois.
f(x) = 75x + 22 400
Contrôle : f(12) = 900 + 22 400 = 23 300, comme à la question 1.
f(x) = 75x + 22 400
Partie B, question 5
Lire sur le graphique à partir de quelle durée l’option Achat est la plus avantageuse.
L’option Achat est la plus avantageuse quand sa dépense est la plus faible, c’est-à-dire quand Cf est en dessous de Cg.
Les deux droites se coupent en un point d’abscisse 64 : sur l’axe horizontal, un petit carreau représente 2 mois, et le point se trouve deux carreaux après 60.
À gauche de ce point, Cg est sous Cf : la location coûte moins cher. À droite, Cf est sous Cg : l’achat coûte moins cher.
Contrôle par le calcul : 75x + 22 400 = 425x donne 350x = 22 400, donc x = 64. Pour 64 mois, les deux options coûtent 27 200 €.
Le seuil est 64 mois : les deux options coûtent autant à 64 mois, et l’option Achat est la plus avantageuse au-delà.
Conseil : À 64 mois tout juste, il y a égalité : l’achat n’est pas encore moins cher. En mois entiers, il l’est dès 65 mois. Sur ta copie, explique ta lecture : quel point tu lis et quelle courbe est en dessous de l’autre. La question porte sur la dépense la plus faible, pas sur la courbe la plus haute.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, question 5 : calculer 3/6 et 4/9 en gardant le nombre de boules de départ.
Compter la boule ajoutée dans le total : 3/7 pour l’urne A et 4/10 pour l’urne B.
Ajouter une boule change le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.
Exercice 2, question 3. b) : écrire tan(ACD) = AC/AD = 480/200, ce qui donne environ 67,4°.
Écrire tan(ACD) = AD/AC = 200/480, ce qui donne environ 22,6°.
La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent. Pour l’angle en C, le côté opposé est [AD].
Exercice 2, question 5 : remplacer 5 min 30 s par 5,30 min.
Convertir en secondes : 5 min 30 s = 330 s, soit 5,5 min.
Une minute compte 60 secondes, pas 100 : la durée n’est pas un nombre décimal ordinaire.
Exercice 4, question 4 : écrire 4x + 10 × 5 = 4x + 50.
Écrire (4x + 10) × 5 = 20x + 50.
Le script multiplie par 5 la valeur totale de la variable résultat, pas seulement le 10.
Exercice 5, question 5 : répondre environ 27 000 €, en lisant l’ordonnée du point d’intersection.
Lire l’abscisse du point d’intersection : 64 mois.
La question porte sur une durée, qui se lit sur l’axe horizontal.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet de maths du brevet 2025 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 20 points, l’exercice 2 en vaut 23, l’exercice 3 en vaut 18, l’exercice 4 en vaut 20 et l’exercice 5 en vaut 19.
Faut-il justifier les réponses du QCM ?
Non. Pour l’exercice 3, il suffit de recopier le numéro de la question et la lettre choisie. Toutes les autres réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire.
Que faire si je ne termine pas une question ?
Le sujet demande de laisser une trace de ta recherche, même incomplète : elle est prise en compte dans la notation.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.