Le sujet en bref
Le sujet des Pays du groupe 1 compte cinq exercices : un QCM de cinq questions, des colis avec statistiques, volume et masse volumique, un programme de calcul relié à une fonction affine, un champ avec Pythagore, Thalès, un ratio et un budget de graines, puis un digicode avec probabilités et Scratch. Il fallait surtout mener des calculs de proportionnalité jusqu’au bout et bien justifier.
Exercice 1 : QCM (20 points)
Aucune justification n’est demandée : sur la copie, il suffit d’écrire le numéro de la question et la réponse choisie. Les explications ci-dessous servent à comprendre.
Question 1
Repérer la décomposition de 120 en facteurs premiers.
Une décomposition en facteurs premiers est un produit qui ne contient que des nombres premiers.
La réponse A contient 4, qui n’est pas premier. La réponse B contient 15, qui n’est pas premier. La réponse D est une somme, pas un produit.
La réponse C convient : 2³ × 3 × 5 = 8 × 15 = 120.
Réponse C : 2³ × 3 × 5.
Question 2
Trouver ce qu’affiche B2 quand on étire la formule de A2 vers la droite.
En étirant vers la droite, la référence A1 devient B1. La cellule B2 contient donc la formule = −4*B1 − 12.
La cellule B1 contient 5.
−4 × 5 − 12 = −20 − 12 = −32
Contrôle sur A2 : −4 × 2 − 12 = −20, ce qui est bien la valeur affichée.
Réponse A : −32.
Conseil : La réponse B (−20) correspond à la recopie de la valeur de A2. Ici, c’est la formule qui s’adapte, et le résultat change.
Question 3
Lire sur la figure le rapport de l’homothétie qui fait passer du carré A au carré B.
Les deux carrés sont du même côté de O : le rapport est positif. Cela écarte −2 et −0,5.
Sur le quadrillage, la diagonale du carré B est deux fois plus longue que celle du carré A : c’est un agrandissement, donc le rapport est supérieur à 1.
Le centre du carré A est à 3 grands carreaux de O et celui du carré B à 6 grands carreaux : 6 ÷ 3 = 2.
Réponse D : 2.
Question 4
Choisir la forme factorisée de 4x² − 1.
On reconnaît une différence de deux carrés : 4x² − 1 = (2x)² − 1².
L’identité a² − b² = (a − b)(a + b) donne (2x − 1)(2x + 1).
Vérification en développant : (2x − 1)(2x + 1) = 4x² + 2x − 2x − 1 = 4x² − 1.
Réponse A : (2x − 1)(2x + 1).
Question 5
Calculer RE dans le triangle TER, rectangle en R, au centième de cm.
La figure indique un angle droit en R, un angle TER de 39° et TE = 7,4 cm. L’hypoténuse est donc [TE].
Pour l’angle en E, [RE] est le côté adjacent.
cos(39°) = RE/TE
RE = 7,4 × cos(39°) ≈ 5,75 cm
Réponse B : 5,75 cm.
Conseil : Un côté de l’angle droit est forcément plus court que l’hypoténuse : ici, RE est inférieur à 7,4 cm. Cela écarte 9,52 cm et 11,76 cm. La valeur 4,66 cm correspond au sinus, c’est-à-dire au côté [TR].
Exercice 2 : colis, statistiques et masse volumique (19 points)
Les masses des colis A, B, C, D et E sont respectivement 4, 9, 2, 7 et 11 kg. Leurs dimensions figurent dans le tableau de la page 4.
Question 1
Trouver la masse moyenne des cinq colis.
Moyenne = (4 + 9 + 2 + 7 + 11) ÷ 5 = 33 ÷ 5 = 6,6 kg
La masse moyenne est 6,6 kg.
Question 2
Trouver la masse médiane et dire ce qu’elle signifie.
On range les masses dans l’ordre croissant : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11.
Il y a 5 valeurs : la médiane est la 3ᵉ, avec 2 valeurs avant et 2 valeurs après.
La médiane vaut 7 kg.
Interprétation : au moins la moitié des colis ont une masse inférieure ou égale à 7 kg, et au moins la moitié ont une masse supérieure ou égale à 7 kg.
La médiane est 7 kg : au moins la moitié des colis pèsent 7 kg ou moins, et au moins la moitié pèsent 7 kg ou plus.
Conseil : Dans le tableau, les masses ne sont pas rangées : la valeur centrale de la ligne, 2, n’est pas la médiane.
Question 3
Calculer la probabilité de tomber sur un colis de moins de 8 kg.
Le choix se fait au hasard : les 5 colis ont la même probabilité d’être choisis.
Les colis de moins de 8 kg sont A (4 kg), C (2 kg) et D (7 kg) : il y en a 3.
P = 3/5 = 0,6
La probabilité est 3/5.
Question 4. a.
Contrôler le volume du colis E.
Le colis est un pavé droit : son volume est le produit de ses trois dimensions.
V = L × l × h = 0,5 × 0,4 × 0,6
0,5 × 0,4 = 0,2, et 0,2 × 0,6 = 0,12
Le volume du colis E est bien 0,12 m³.
Question 4. b.
Retrouver la masse volumique du colis E, arrondie au dixième.
On divise la masse du colis E par son volume.
11 ÷ 0,12 ≈ 91,67 kg/m³
Arrondie au dixième, la masse volumique du colis E est bien 91,7 kg/m³.
Question 4. c.
Juger l’affirmation du transporteur sur les colis E et C.
On compare en calculant la masse volumique du colis C.
Volume du colis C : 0,3 × 0,1 × 0,5 = 0,015 m³
Masse volumique du colis C : 2 ÷ 0,015 ≈ 133,3 kg/m³
Le colis E a une masse de 11 kg contre 2 kg pour le colis C, mais sa masse volumique est plus petite : 91,7 kg/m³ contre environ 133,3 kg/m³.
Non, il a tort : le colis E est plus lourd, mais sa masse volumique est plus faible que celle du colis C.
Conseil : Le calcul du colis C sert de contre-exemple. La masse volumique dépend de la masse et du volume : la masse seule ne permet pas de conclure.
Exercice 3 : programme de calcul et fonction affine (21 points)
Le programme multiplie le nombre choisi par −2, ajoute 4, puis multiplie le résultat par 4.
Question 1
Dérouler le programme à partir de 1.
1 × (−2) = −2
−2 + 4 = 2
2 × 4 = 8
On obtient bien 8.
Question 2
Dérouler le programme à partir de −2.
−2 × (−2) = 4
4 + 4 = 8
8 × 4 = 32
Le résultat est 32.
Conseil : Le produit de deux nombres négatifs est positif : −2 × (−2) vaut 4, et non −4.
Question 3
Exprimer le résultat en fonction de x pour retrouver −8x + 16.
Le programme donne successivement −2x, puis −2x + 4, puis (−2x + 4) × 4.
(−2x + 4) × 4 = −2x × 4 + 4 × 4 = −8x + 16
Le résultat s’écrit bien −8x + 16.
Conseil : Le 4 multiplie toute l’expression −2x + 4 : mets des parenthèses avant de développer.
Question 4. a.
Trouver la valeur de x qui vérifie −8x + 16 = 4.
−8x + 16 = 4
−8x = 4 − 16 = −12
x = −12 ÷ (−8) = 12/8 = 1,5
La solution de l’équation est 1,5.
Question 4. b.
Utiliser l’équation pour trouver le nombre qui donne 4.
D’après la question 3, le résultat du programme vaut −8x + 16. Il vaut 4 pour la solution de l’équation précédente.
Vérification : 1,5 × (−2) = −3, puis −3 + 4 = 1, puis 1 × 4 = 4.
Il faut choisir 1,5.
Question 5
Identifier le graphique de f(x) = −8x + 16 et expliquer le choix.
La fonction f est affine, avec un coefficient directeur −8 négatif : sa droite doit descendre. La représentation 1 monte, donc elle ne convient pas.
On calcule f(0) = 16 : la droite doit passer par le point de coordonnées (0 ; 16). La représentation 2 coupe l’axe vertical en 8, donc elle ne convient pas.
On contrôle la représentation 3 avec un autre point : f(2) = −16 + 16 = 0, et la droite coupe bien l’axe horizontal en 2.
C’est la représentation graphique 3.
Conseil : La question demande d’expliquer la démarche. Écris les calculs d’images et ce que tu lis sur chaque graphique.
Exercice 4 : le champ de l’agriculteur (21 points)
Le triangle ABC, rectangle en B, représente le champ, avec AB = 600 m, BC = 450 m et CD = 270 m. La figure n’est pas à l’échelle. Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A, question 1
Prouver que AC vaut 750 m.
Le triangle ABC est rectangle en B et son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 600² + 450²
AC² = 360 000 + 202 500 = 562 500
AC = √562 500 = 750 m
Le segment [AC] mesure bien 750 m.
Partie A, question 2. a.
Prouver le parallélisme de (ED) et (AB).
Le codage de la figure indique un angle droit en D : (ED) est perpendiculaire à (CB).
Le triangle ABC est rectangle en B : (AB) est perpendiculaire à (CB).
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Les droites (ED) et (AB) sont parallèles.
Conseil : L’angle droit en D figure seulement sur le dessin, par son codage : cite-le. La réciproque de Thalès ne s’applique pas ici, car CE n’est pas connu.
Partie A, question 2. b.
Établir que DE vaut 360 m.
Les droites (CA) et (CB) se coupent en C, et les droites (ED) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
CD/CB = CE/CA = DE/AB
270/450 = DE/600
DE = 600 × 270 ÷ 450 = 162 000 ÷ 450 = 360 m
Le segment [DE] mesure bien 360 m.
Partie A, question 3
Retrouver l’aire du triangle CDE.
Le triangle CDE est rectangle en D : [CD] et [DE] sont les côtés de l’angle droit.
Aire = (CD × DE)/2 = (270 × 360)/2 = 97 200/2 = 48 600 m²
L’aire du triangle CDE est bien 48 600 m².
Partie B, question 1
Prouver que le ratio 16 : 12 : 8 ne correspond pas à l’indication 2.
L’indication 2 donne 80 kg de blé, 60 kg de seigle et 50 kg de pois : c’est le ratio 80 : 60 : 50.
En divisant par 5, on obtient 16 : 12 : 10.
Avec 16 parts de blé et 12 parts de seigle, il faudrait donc 10 parts de pois. Le sac n’en contient que 8.
Le sac ne respecte pas l’indication 2 : il n’y a pas assez de pois (8 parts au lieu de 10).
Conseil : Le ratio du vendeur et celui de l’indication coïncident pour le blé et le seigle : seul le pois trahit la différence. Compare donc les trois nombres.
Partie B, question 2
Expliquer d’où vient la masse de 388,80 kg de blé.
La quantité de blé est proportionnelle à la surface : 80 kg pour 10 000 m².
La surface du triangle CDE représente 48 600 ÷ 10 000 = 4,86 fois cette surface.
80 × 4,86 = 388,8 kg
Il faut bien prévoir 388,80 kg de blé.
Partie B, question 3
Dire si 1 500 € suffisent pour acheter les graines.
Blé : 388,80 × 1,40 = 544,32 €
Seigle : 291,6 × 1,30 = 379,08 €
Pois : 243 × 2,10 = 510,30 €
Total : 544,32 + 379,08 + 510,30 = 1 433,70 €
Vérification par une autre voie : pour 10 000 m², le mélange coûte 80 × 1,40 + 60 × 1,30 + 50 × 2,10 = 112 + 78 + 105 = 295 €, et 295 × 4,86 = 1 433,70 €.
Comme 1 433,70 € est inférieur à 1 500 €, le budget suffit. Il reste 66,30 €.
Oui, le budget est suffisant : la dépense est de 1 433,70 €.
Exercice 5 : digicode, probabilités et algorithme (19 points)
Le code est formé d’une lettre parmi A, B et C, suivie d’un chiffre de 0 à 9. Le sujet ne dit pas comment la grand-mère l’a choisi : pour les probabilités, on suppose que les trois lettres ont la même chance d’avoir été choisies, et les dix chiffres aussi.
Question 1
Donner deux exemples de codes possibles.
Il suffit d’écrire une lettre parmi A, B et C, puis un chiffre de 0 à 9. Par exemple, A3 et C8.
Par exemple : A3 et C8.
Question 2
Trouver la probabilité que le code commence par C.
On suppose que les 3 lettres ont la même chance d’avoir été choisies : le sujet ne le précise pas, c’est une hypothèse.
Une seule de ces lettres est C, donc P = 1/3.
La probabilité est 1/3.
Question 3
Justifier que le chiffre 7 a une probabilité de 1/10.
Les chiffres de 0 à 9 sont au nombre de 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Avec la même hypothèse, ils ont tous la même chance d’avoir été choisis.
Un seul de ces chiffres est 7, donc P = 1/10.
La probabilité est bien 1/10.
Conseil : Il y a 10 chiffres de 0 à 9, et non 9 : n’oublie pas le 0.
Question 4
Trouver la probabilité que le chiffre du code soit premier.
Le seul nombre du code est son chiffre : la question revient à chercher la probabilité que ce chiffre soit premier.
Parmi les chiffres de 0 à 9, les nombres premiers sont 2, 3, 5 et 7. Ni 0 ni 1 ne sont premiers.
Il y a 4 cas favorables sur 10.
P = 4/10 = 2/5
Autre calcul, sur les 30 codes possibles : 3 × 4 = 12 codes contiennent un chiffre premier, et 12/30 = 2/5.
Autre lecture : le goût de la grand-mère rendrait les chiffres premiers plus probables que les autres. Mais le sujet ne donne aucune valeur pour en tenir compte, et la question 3 donne 1/10 pour le chiffre 7, qui est pourtant premier. On garde donc l’hypothèse de départ.
La probabilité est 2/5, soit 0,4.
Question 5. a.
Dire si 3 minutes suffisent pour essayer tous les codes à raison de 5 secondes par code.
Il y a 3 lettres et 10 chiffres, donc 3 × 10 = 30 codes possibles.
Durée maximale : 30 × 5 = 150 s.
150 s = 2 min 30 s, ce qui est moins que 3 minutes.
Oui : même dans le pire des cas, Léna ouvre la porte en 2 min 30 s.
Question 5. b.
Évaluer la sécurité du code et proposer une amélioration.
Non, ce format ne garantit pas la sécurité : la question précédente montre qu’on peut essayer tous les codes en moins de 3 minutes.
Pour l’améliorer, on peut allonger le code. Par exemple, avec une lettre parmi A, B, C suivie de 3 chiffres, il y a 3 × 10 × 10 × 10 = 3 000 codes. À 5 secondes par essai, cela fait 15 000 s, soit 4 h 10 min.
On peut aussi utiliser plus de lettres, ou bloquer le digicode après quelques erreurs.
Non, ce code n’est pas sûr. Il faut augmenter le nombre de codes possibles, par exemple en ajoutant des chiffres, ou limiter le nombre d’essais.
Question 6. a.
Donner l’affichage du programme pour le code B5.
Le programme répond « Code correct » seulement si la lettre saisie est B et si le chiffre saisi est 7.
Ici, la lettre est B, mais le chiffre est 5 : la seconde condition est fausse, donc le programme passe au « sinon ».
Le programme affiche « Code faux » pendant 2 secondes.
Conseil : Le mot « et » du bloc « si » exige que les deux conditions soient vraies en même temps.
Question 6. b.
Lire dans le programme le code qui fonctionne.
Il faut que les deux conditions du bloc « si » soient vraies : la lettre saisie vaut B et le chiffre saisi vaut 7.
Le code est B7.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, question 2 : répondre −20 en recopiant la valeur de la cellule A2.
Remplacer A1 par B1 dans la formule : −4 × 5 − 12 = −32.
Quand on étire une formule vers la droite, ses références de cellules se décalent.
Exercice 2, question 2 : donner 2 kg comme médiane, en prenant la valeur centrale du tableau.
Ranger d’abord les masses : 2 ; 4 ; 7 ; 9 ; 11. La médiane est 7 kg.
La médiane se lit sur la série rangée dans l’ordre croissant.
Exercice 2, question 4. c. : donner raison au transporteur sans calculer, parce que 11 kg est plus que 2 kg.
Calculer la masse volumique du colis C : environ 133,3 kg/m³, plus que les 91,7 kg/m³ du colis E.
La masse volumique compare la masse au volume. Le colis C est plus léger, mais il est aussi bien plus petit.
Exercice 4, partie B, question 3 : calculer le prix pour 10 000 m² seulement, soit 295 €.
Utiliser les masses données pour 48 600 m² : la dépense totale est 1 433,70 €.
Le budget porte sur toute la surface du triangle CDE, soit 4,86 fois 10 000 m².
Exercice 5, question 4 : compter 1 parmi les nombres premiers, ce qui donne 5/10.
Retenir 2, 3, 5 et 7 : la probabilité est 4/10 = 2/5.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs. Le nombre 1 n’en a qu’un.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2025 des Pays du groupe 1 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Les cinq exercices sont indépendants et tu peux les traiter dans l’ordre de ton choix.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 20 points, l’exercice 2 en vaut 19, l’exercice 3 en vaut 21, l’exercice 4 en vaut 21 et l’exercice 5, consacré à l’algorithmique, en vaut 19.
Faut-il justifier les réponses du QCM ?
Non. Pour l’exercice 1, il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Partout ailleurs, il faut justifier, sauf mention contraire dans le sujet.
La calculatrice est-elle autorisée pour ce sujet ?
Oui : la calculatrice avec le mode examen actif ou la calculatrice sans mémoire, « type collège ». Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.