Le sujet en bref
Cinq exercices à 20 points : un tableur de ventes de lunettes (étendue, total, prix moyen), une figure avec Pythagore, des droites parallèles et Thalès, un QCM de cinq questions, un escalier à étudier avec la trigonométrie et Scratch, puis deux programmes de calcul reliés à des fonctions affines et à une équation.
Exercice 1 : tableur et prix moyen des lunettes de soleil (20 points)
Le tableur de la page 2 du sujet donne, pour cinq modèles, le nombre de paires vendues en 2022 (ligne 2) et le prix à l’unité (ligne 3). Le sujet ne dit pas si l’opticien vend d’autres modèles : les calculs portent uniquement sur ces cinq modèles.
Question 1
Montrer que l’étendue des prix vaut 85 €.
L’étendue d’une série est la différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur.
Le prix le plus élevé est 160 € (modèle 5) et le prix le plus bas est 75 € (modèle 1).
160 − 75 = 85
L’étendue des prix est bien de 85 €.
Question 2. a)
Donner la formule à saisir en G2 pour obtenir le nombre total de paires vendues.
Le total est la somme des cellules de la ligne 2, de la colonne B à la colonne F.
Dans la cellule G2, on saisit : =SOMME(B2:F2)
La formule =B2+C2+D2+E2+F2 donne le même résultat.
=SOMME(B2:F2)
Conseil : Une formule de tableur commence par le signe égal. Écrire seulement SOMME(B2:F2) ne lance aucun calcul. La colonne A contient du texte : elle n’entre pas dans la plage.
Question 2. b)
Calculer le nombre total de paires vendues en 2022.
1 200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3 575
L’opticien a vendu 3 575 paires de lunettes de soleil en 2022.
Question 3. a)
Calculer le montant total des ventes en euros.
Pour chaque modèle, le montant des ventes est le nombre de paires multiplié par le prix à l’unité.
Modèle 1 : 1 200 × 75 = 90 000 €
Modèle 2 : 950 × 100 = 95 000 €
Modèle 3 : 875 × 110 = 96 250 €
Modèle 4 : 250 × 140 = 35 000 €
Modèle 5 : 300 × 160 = 48 000 €
Total : 90 000 + 95 000 + 96 250 + 35 000 + 48 000 = 364 250 €
Le montant total des ventes est de 364 250 €.
Question 3. b)
Calculer le prix moyen d’une paire vendue, arrondi au centime.
Le prix moyen d’une paire vendue est le montant total des ventes divisé par le nombre total de paires vendues.
364 250 ÷ 3 575 ≈ 101,888
Arrondi au centime, cela donne 101,89 €.
Contrôle : 3 575 × 101,89 ≈ 364 257, très proche de 364 250. L’écart vient de l’arrondi.
Le prix moyen d’une paire vendue est d’environ 101,89 €.
Conseil : C’est une moyenne pondérée : chaque prix compte autant de fois qu’il y a de paires vendues à ce prix. Le résultat est proche de 100 € parce que les modèles les moins chers se sont le plus vendus.
Exercice 2 : rectangle, Pythagore et Thalès (20 points)
Sur la figure de la page 3 du sujet, BCDE est un rectangle et BAE un triangle rectangle en A. On sait que AB = BC = 4,2 cm et que EB = EF = 7 cm. H est le pied de la perpendiculaire à (CD) passant par A. F est le point d’intersection de (AE) et (CD).
Question 1
Montrer que l’aire du rectangle BCDE vaut 29,4 cm².
Les côtés du rectangle BCDE sont [BC] et [BE], avec BC = 4,2 cm et BE = 7 cm.
Aire = BE × BC = 7 × 4,2 = 29,4 cm²
L’aire du rectangle BCDE est bien de 29,4 cm².
Question 2. a)
Montrer que AE = 5,6 cm.
Le triangle ABE est rectangle en A et son hypoténuse est [BE]. D’après le théorème de Pythagore :
BE² = AB² + AE²
7² = 4,2² + AE²
49 = 17,64 + AE²
AE² = 49 − 17,64 = 31,36
AE = √31,36 = 5,6 cm
Vérification : 5,6 × 5,6 = 31,36.
AE = 5,6 cm.
Conseil : Le correcteur attend le triangle rectangle cité, le nom du théorème et l’égalité avec les bonnes lettres avant le calcul. Comme le résultat est donné, c’est la rédaction qui rapporte les points.
Question 2. b)
Trouver l’aire du triangle ABE.
Le triangle est rectangle en A : [AB] et [AE] sont les côtés de l’angle droit. Ils servent de base et de hauteur.
Aire = (AB × AE)/2 = (4,2 × 5,6)/2 = 23,52/2 = 11,76 cm²
L’aire du triangle ABE est de 11,76 cm².
Question 3. a)
Prouver que (ED) est parallèle à (HA).
BCDE est un rectangle, donc l’angle en D est droit : (ED) est perpendiculaire à (CD).
H est défini par la perpendiculaire à (CD) passant par A : (HA) est perpendiculaire à (CD).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
Conseil : Le théorème de Thalès ne sert pas ici. Il faut seulement citer la propriété des deux droites perpendiculaires à une même troisième.
Question 3. b)
Trouver la longueur du segment [AH].
BCDE est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur : ED = BC = 4,2 cm.
Les points F, E, A sont alignés dans cet ordre, donc FA = FE + EA = 7 + 5,6 = 12,6 cm.
Les points F, D, H sont alignés et les droites (ED) et (AH) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans le triangle FAH :
FE/FA = FD/FH = ED/AH
On utilise l’égalité qui ne contient qu’une seule inconnue : 7/12,6 = 4,2/AH.
AH = (12,6 × 4,2)/7 = 52,92/7 = 7,56 cm
Autre méthode pour vérifier : l’aire du triangle ABE vaut 11,76 cm². Avec la base [BE], sa hauteur h issue de A vérifie (7 × h)/2 = 11,76, donc h = 3,36 cm. Cette hauteur prolongée jusqu’à (CD) traverse le rectangle, large de 4,2 cm : AH = 3,36 + 4,2 = 7,56 cm.
AH = 7,56 cm.
Conseil : Pars du sommet commun F. Le grand côté est [FA], et non [AE] : il faut d’abord ajouter FE et EA.
Exercice 3 : QCM (20 points)
Aucune justification n’est demandée : il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Trouver le nombre de filles dans une classe de 25 élèves qui en compte 60 %.
60 % de 25 : 25 × 60/100 = 25 × 0,6 = 15
Réponse B : 15.
Question 2
Trouver la décomposition de 126 en produit de facteurs premiers.
126 = 2 × 63 = 2 × 9 × 7 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 3² × 7
La réponse A vaut bien 126, mais 9 n’est pas un nombre premier.
La réponse B vaut aussi 126 (100 + 26), mais c’est une somme et non un produit.
Réponse C : 2 × 3² × 7.
Conseil : Les trois propositions sont égales à 126. Il faut donc vérifier les deux conditions : un produit, et uniquement des facteurs premiers.
Question 3
Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge ou jaune.
Les jetons sont indiscernables au toucher : chaque jeton a la même probabilité d’être tiré.
Le sac contient 17 + 23 + 20 = 60 jetons, dont 17 + 23 = 40 sont rouges ou jaunes.
P = 40/60 = 2/3
Réponse A : 2/3.
Conseil : La réponse C, 17/23, compare les rouges aux jaunes. Une probabilité divise les cas favorables par le nombre total de jetons.
Question 4
Trouver l’image de [DC] par la rotation autour de O qui envoie A sur D.
Les sommets de l’octogone se suivent dans l’ordre A, B, C, D, E, F, G, H. Pour aller de A à D, on avance de 3 sommets, ce qui correspond à une rotation de 3 × 45° = 135° autour de O.
La rotation déplace tous les sommets de la même façon. D avance de 3 sommets : D → E → F → G, donc l’image de D est G.
C avance de 3 sommets : C → D → E → F, donc l’image de C est F.
L’image du segment [DC] est le segment [GF].
Réponse B : [GF].
Conseil : Une rotation conserve les longueurs. [DC] est un côté de l’octogone, donc son image en est un aussi : [GE] ne convient pas.
Question 5
Calculer le volume d’un pavé droit de dimensions 2 m, 1,3 m et 1,5 m.
Volume = longueur × largeur × hauteur = 2 × 1,3 × 1,5 = 3,9 m³
Comme 1 m³ = 1 000 L, on a 3,9 m³ = 3,9 × 1 000 L = 3 900 L.
Réponse B : 3 900 L.
Conseil : La réponse A, 2,6 m³, est l’aire de la base écrite avec une unité de volume : il manque la multiplication par la hauteur.
Exercice 4 : un escalier, de la trigonométrie à Scratch (20 points)
L’escalier mesure 272 cm de haut. Chaque marche mesure 17 cm de haut et 27 cm de profondeur. Sur la figure de la page 5 du sujet, le triangle ABC est rectangle en B. La première marche part de A et la dernière se termine à la verticale de B, en C.
Question 1. a)
Montrer qu’il faut 16 marches.
Chaque marche monte de 17 cm et l’escalier doit monter de 272 cm.
272 ÷ 17 = 16
Vérification : 16 × 17 = 272.
Il faut bien prévoir 16 marches.
Question 1. b)
Montrer que AB = 432 cm.
La figure montre que chaque marche avance de 27 cm à l’horizontale, y compris la dernière, qui se termine en C. La longueur AB correspond donc à 16 profondeurs de marche.
AB = 16 × 27 = 432 cm
AB = 432 cm.
Question 2. a)
Calculer l’angle BAC, arrondi au degré.
Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle BAC, [BC] est le côté opposé et [AB] le côté adjacent.
tan(BAC) = BC/AB = 272/432 = 17/27
À la calculatrice, l’angle BAC mesure environ 32,2°, soit 32° au degré près.
Vérification par un autre chemin : d’après le théorème de Pythagore, AC² = 272² + 432² = 260 608, donc AC ≈ 510,5 cm. Alors sin(BAC) = 272/510,5 ≈ 0,533, ce qui redonne environ 32°.
L’angle BAC mesure environ 32°.
Conseil : On connaît les deux côtés de l’angle droit : la tangente est le choix direct. Le quotient 17/27 est le rapport hauteur sur profondeur d’une seule marche, car la pente est la même partout.
Question 2. b)
Dire si l’escalier permet une montée agréable.
La condition demande un angle compris entre 25° et 40°. Or 25° ≤ 32° ≤ 40°.
Oui, l’escalier permet une montée agréable.
Question 3
Compléter les lignes 5, 6, 7 et 9 du script qui dessine l’escalier.
Le sujet ne dit pas où se trouve le lutin au départ. On suppose qu’il part du point A. La ligne 2 l’oriente vers la droite.
Chaque passage dans la boucle dessine une marche, et il y a 16 marches : la boucle se répète 16 fois.
La figure montre qu’une marche commence par la montée. Le lutin regarde à droite, il doit donc tourner de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, comme l’indique la flèche de la ligne 6. Il regarde alors vers le haut.
Il avance de la hauteur d’une marche, soit 17 pas, car 1 cm est représenté par 1 pas.
La ligne 8 le remet face à la droite. Il avance alors de la profondeur d’une marche, soit 27 pas.
Ligne 5 : répéter (16) fois
Ligne 6 : tourner ↺ de (90) degrés
Ligne 7 : avancer de (17) pas
Ligne 9 : avancer de (27) pas
Contrôle : à la fin, le lutin a avancé de 16 × 27 = 432 pas vers la droite et de 16 × 17 = 272 pas vers le haut. Il arrive bien en C.
Ligne 5 : 16. Ligne 6 : 90. Ligne 7 : 17. Ligne 9 : 27.
Conseil : Regarde le sens des flèches : ↺ à la ligne 6, ↻ à la ligne 8. Les deux rotations se compensent, si bien que le lutin regarde de nouveau à droite au début de chaque passage dans la boucle.
Exercice 5 : programmes de calcul et fonctions affines (20 points)
Le programme A multiplie par −2, puis ajoute 5. Le programme B soustrait 5, multiplie par 3, puis ajoute 11. Le graphique de la page 6 du sujet représente les deux droites (D₁) et (D₂).
Question 1. a)
Vérifier que −3 donne 11 avec le programme A.
−3 × (−2) = 6
6 + 5 = 11
On obtient bien 11.
Question 1. b)
Calculer le résultat du programme B pour 5,5.
5,5 − 5 = 0,5
0,5 × 3 = 1,5
1,5 + 11 = 12,5
On obtient 12,5.
Question 2
Montrer que le programme B donne 3x − 4 pour un nombre de départ x.
Le programme donne successivement x − 5, puis (x − 5) × 3, puis (x − 5) × 3 + 11.
(x − 5) × 3 + 11 = 3x − 15 + 11 = 3x − 4
Contrôle avec 5,5 : 3 × 5,5 − 4 = 16,5 − 4 = 12,5, comme à la question 1. b).
Le programme B donne bien 3x − 4.
Conseil : Le 3 multiplie toute l’expression x − 5 : mets des parenthèses avant de développer, sinon tu écris 3x − 5 et le résultat devient faux.
Question 3. a)
Associer chaque droite à sa fonction, en justifiant.
Le coefficient de f est −2 : il est négatif, donc f est décroissante et sa droite descend. C’est (D₂).
Le coefficient de g est 3 : il est positif, donc g est croissante et sa droite monte. C’est (D₁).
Autre justification avec l’ordonnée à l’origine : f(0) = 5 et (D₂) passe par le point de coordonnées (0 ; 5). De même, g(0) = −4 et (D₁) passe par le point de coordonnées (0 ; −4).
(D₁) représente g et (D₂) représente f.
Question 3. b)
Lire le nombre qui a la même image par f et par g.
Un nombre qui a la même image par f et par g est l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
Ce point se trouve entre 1,5 et 2 sur l’axe horizontal, plus près de 2. Sa lecture donne environ 1,8.
Le nombre cherché est environ 1,8.
Conseil : On demande un nombre de départ : lis l’abscisse. L’ordonnée du point, environ 1,4, est l’image commune.
Question 4
Trouver par le calcul le nombre de départ qui donne le même résultat avec les deux programmes.
On résout l’équation −2x + 5 = 3x − 4.
On ajoute 2x de chaque côté : 5 = 5x − 4.
On ajoute 4 de chaque côté : 9 = 5x.
x = 9/5 = 1,8
Vérification avec le programme A : −2 × 1,8 + 5 = −3,6 + 5 = 1,4.
Vérification avec le programme B : 1,8 − 5 = −3,2, puis −3,2 × 3 = −9,6, puis −9,6 + 11 = 1,4.
Les deux programmes donnent le même résultat pour 1,8 (ou 9/5). Ce résultat commun est 1,4.
Conseil : Ce calcul confirme la lecture graphique de la question 3. b). Quand on demande « par le calcul », une simple lecture sur le graphique ne suffit pas.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, question 3. b) : calculer (75 + 100 + 110 + 140 + 160) ÷ 5 = 117 €.
Diviser le montant total par le nombre de paires : 364 250 ÷ 3 575 ≈ 101,89 €.
La question porte sur une paire vendue. Les modèles ne se sont pas vendus en même quantité, donc il faut une moyenne pondérée.
Exercice 2, question 3. b) : écrire 7/5,6 = 4,2/AH en prenant AE à la place de FA.
Calculer d’abord FA = 7 + 5,6 = 12,6 cm, puis écrire 7/12,6 = 4,2/AH.
Dans le théorème de Thalès, les longueurs se mesurent à partir du sommet commun F.
Exercice 4, question 2. a) : écrire tan(BAC) = AB/BC = 432/272, ce qui donne environ 58°.
Écrire tan(BAC) = BC/AB = 272/432, ce qui donne environ 32°.
La tangente est le quotient du côté opposé par le côté adjacent. Pour l’angle en A, le côté opposé est [BC].
Exercice 4, question 3 : mettre 27 à la ligne 7 et 17 à la ligne 9.
Mettre 17 à la ligne 7 et 27 à la ligne 9.
À la ligne 7, le lutin vient de tourner vers le haut : il monte donc de la hauteur d’une marche.
Exercice 5, question 3. b) : répondre 1,4, l’ordonnée du point d’intersection.
Répondre environ 1,8, l’abscisse du point d’intersection.
Le nombre cherché est l’antécédent commun, qui se lit sur l’axe horizontal. La valeur 1,4 est son image.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet de maths du brevet 2023 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Le sujet compte 6 pages et cinq exercices.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
Chacun des cinq exercices vaut 20 points. Le sujet ne donne pas le détail des points par question.
Faut-il justifier les réponses du QCM ?
Non. Pour l’exercice 3, il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Toutes les autres réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire.
La calculatrice est-elle autorisée pour ce sujet ?
Oui. Le sujet autorise la calculatrice avec mode examen actif et la calculatrice sans mémoire de type collège. Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.