Le sujet en bref
Cinq exercices : des probabilités sur une roulette de casino, deux programmes de calcul à comparer avec le calcul littéral, une figure dans un cercle (réciproque de Pythagore, Thalès, aires, pourcentage), un QCM de six questions, puis un problème de sachets à répartir et le coût du remplissage d’une piscine.
Exercice 1 : probabilités à la roulette (20 points)
La roue, dessinée page 2 du sujet, porte les numéros de 0 à 36, et tous ont la même chance de sortir.
Question 1
Expliquer pourquoi la probabilité de s’arrêter sur le 7 vaut 1/37.
Les numéros vont de 0 à 36 : cela fait 36 + 1 = 37 numéros, car il ne faut pas oublier le 0.
Ils ont tous la même probabilité de sortir, et un seul numéro est le 7.
La probabilité est donc égale à 1/37.
P(7) = 1/37.
Question 2
Trouver la probabilité d’une case à la fois noire et paire.
On lit sur la roue les cases noires qui portent un numéro pair : 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26 et 28.
Cela fait 10 cases sur 37.
La probabilité est 10/37.
Conseil : Fais le tour complet de la roue et coche les cases une à une. Le 0 est pair, mais sa case n’est pas noire sur la figure : il ne compte pas.
Question 3. a)
Calculer la probabilité d’un numéro inférieur ou égal à 6.
Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : il y en a 7.
P = 7/37
La probabilité est 7/37.
Question 3. b)
En déduire la probabilité d’un numéro supérieur ou égal à 7.
« Obtenir un numéro supérieur ou égal à 7 » est l’événement contraire de « obtenir un numéro inférieur ou égal à 6 ».
P = 1 − 7/37 = 37/37 − 7/37 = 30/37
La probabilité est 30/37.
Conseil : Le mot « déduire » demande d’utiliser la question précédente. Cite l’événement contraire plutôt que de recompter les numéros.
Question 3. c)
Vérifier l’affirmation du joueur : la probabilité d’un numéro au moins égal à 7 dépasse-t-elle 3/4 ?
3 chances sur 4 correspondent à une probabilité de 3/4 = 0,75.
30/37 ≈ 0,81
Comme 0,81 > 0,75, on a 30/37 > 3/4.
Le joueur a raison.
Exercice 2 : deux programmes de calcul (20 points)
Le programme A prend le carré du nombre, le multiplie par 2, ajoute le double du nombre de départ et soustrait 4. Le programme B, écrit sur Scratch, multiplie « nombre choisi + 2 » par « nombre choisi − 1 ».
Question 1. a)
Vérifier que le programme A transforme 5 en 56.
Carré du nombre : 5² = 25
Multiplication par 2 : 25 × 2 = 50
Ajout du double de 5 : 50 + 10 = 60
Soustraction de 4 : 60 − 4 = 56
On obtient bien 56.
Question 1. b)
Calculer le résultat du programme B pour −9.
Résultat 1 : −9 + 2 = −7
Résultat 2 : −9 − 1 = −10
La dernière ligne du script multiplie les deux : (−7) × (−10) = 70
Le programme B donne 70.
Conseil : Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Question 2. a)
Choisir l’expression qui correspond au programme B parmi E₁, E₂ et E₃.
Le script calcule x + 2 (ligne 4), puis x − 1 (ligne 5), et affiche le produit des deux (ligne 6).
Les parenthèses sont indispensables : sans elles, E₃ ne multiplie que 2 par x.
E₂ = (x + 2) × (x − 1)
Question 2. b)
Exprimer le résultat du programme A en fonction de x.
Le carré du nombre choisi est x².
Multiplié par 2, il donne 2x².
On ajoute le double du nombre de départ : 2x² + 2x.
On soustrait 4 : 2x² + 2x − 4.
Le programme A donne 2x² + 2x − 4.
Question 3
Démontrer que le résultat de A est toujours le double de celui de B.
On développe le résultat du programme B :
(x + 2)(x − 1) = x² − x + 2x − 2 = x² + x − 2
On calcule son double :
2 × (x² + x − 2) = 2x² + 2x − 4
C’est exactement le résultat du programme A, pour toute valeur de x.
Contrôle avec 5 : le programme B donne 7 × 4 = 28, et 2 × 28 = 56, le résultat du programme A trouvé à la question 1. a).
Le résultat du programme A est toujours le double de celui du programme B.
Conseil : Un exemple ne démontre rien ici. Il faut un calcul avec x, valable quel que soit le nombre choisi.
Exercice 3 : triangle dans un cercle (22 points)
Sur la figure de la page 4 du sujet, le cercle a pour centre O et pour rayon 4,5 cm. [AB] est un diamètre, D est sur le cercle, (BD) et (EF) sont parallèles, avec BD = 5,4 cm, DA = 7,2 cm et AE = 2,7 cm.
Question 1
Justifier que AB = 9 cm.
Un diamètre mesure le double du rayon.
AB = 2 × 4,5 = 9 cm
AB = 9 cm.
Question 2
Prouver que le triangle ABD a un angle droit en D.
Le plus long côté du triangle ABD est [AB]. On compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés.
AB² = 9² = 81
BD² + DA² = 5,4² + 7,2² = 29,16 + 51,84 = 81
On a AB² = BD² + DA². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.
Le triangle ABD est rectangle en D.
Conseil : Calcule les deux membres séparément, puis constate l’égalité. C’est la réciproque du théorème qu’il faut citer, pas le théorème lui-même.
Question 3
Trouver la longueur du segment [AF].
Les points A, E, B sont alignés, ainsi que les points A, F, D, et les droites (EF) et (BD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
AE/AB = AF/AD = EF/BD
On remplace par les longueurs connues : 2,7/9 = AF/7,2
AF = (2,7 × 7,2)/9 = 19,44/9 = 2,16 cm
Contrôle : 2,7/9 = 0,3 et 7,2 × 0,3 = 2,16.
AF = 2,16 cm.
Question 4. a)
Retrouver par le calcul les 19,44 cm² d’aire du triangle ABD.
Le triangle ABD est rectangle en D, donc [BD] et [DA] sont les côtés de l’angle droit.
Aire = (BD × DA)/2 = (5,4 × 7,2)/2 = 38,88/2 = 19,44 cm²
L’aire du triangle ABD est bien 19,44 cm².
Question 4. b)
Donner l’aire du disque au centième près.
Le rayon vaut 4,5 cm.
Aire = π × 4,5² = 20,25π
20,25π ≈ 63,617, soit 63,62 cm² au centième près.
L’aire du disque est d’environ 63,62 cm².
Conseil : Utilise le rayon (4,5 cm), pas le diamètre, et la touche π de la calculatrice.
Question 5
Exprimer en pourcentage la part du disque occupée par le triangle ABD.
On divise l’aire du triangle par l’aire du disque, puis on multiplie par 100.
(19,44 ÷ 63,62) × 100 ≈ 30,56
Le triangle représente environ 30,6 % de l’aire du disque.
Exercice 4 : QCM (18 points)
Aucune justification n’est demandée sur la copie : il suffit d’écrire le numéro de la question et la lettre. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Calculer l’image de −4 par la fonction f définie par f(x) = 3x − 2.
f(−4) = 3 × (−4) − 2 = −12 − 2 = −14
Réponse A : −14.
Question 2
Calculer (−5)³.
(−5)³ = (−5) × (−5) × (−5) = 25 × (−5) = −125
Réponse A : −125.
Conseil : Une puissance n’est pas une multiplication par l’exposant : (−5)³ ne vaut pas (−5) × 3.
Question 3
Trouver l’image de J par la translation qui envoie C sur A.
Sur le quadrillage de points, pour aller de C à A, on se déplace d’un cran vers la gauche et d’un cran vers le bas.
On applique le même déplacement à partir de J : on arrive en E.
Réponse B : E.
Question 4
Lire sur la courbe l’antécédent de 3 par la fonction f.
Un antécédent de 3 est une abscisse x telle que f(x) = 3.
On part de 3 sur l’axe des ordonnées et on rejoint la droite : le point de la droite d’ordonnée 3 est sur l’axe vertical, à l’abscisse 0.
Réponse C : 0.
Conseil : La réponse B est un piège : −3 est l’image de 3, pas son antécédent. L’antécédent se lit sur l’axe horizontal.
Question 5
Trouver la médiane des tailles des sept élèves.
On range d’abord les tailles dans l’ordre croissant : 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75.
Il y a 7 valeurs : la médiane est la 4ᵉ, avec 3 valeurs avant et 3 valeurs après.
Réponse B : 1,67.
Question 6
Calculer cos α dans le triangle ABC rectangle en A.
L’angle α est en B. Le côté adjacent est [AB], qui mesure 4, et l’hypoténuse est [BC], qui mesure 5.
cos α = AB/BC = 4/5 = 0,8
Réponse A : 0,8.
Exercice 5 : sachets cadeaux et piscine (20 points)
Partie A : répartir 330 autocollants et 132 drapeaux dans des sachets identiques, sans reste. Partie B : calculer le coût du remplissage d’une piscine en forme de pavé droit.
Partie A, question 1
Expliquer pourquoi 15 sachets sont impossibles.
Le nombre de sachets doit diviser à la fois 330 et 132.
330 ÷ 15 = 22, mais 132 ÷ 15 = 8,8, qui n’est pas un nombre entier.
15 n’est pas un diviseur de 132 : on ne peut pas répartir tous les drapeaux dans 15 sachets.
15 ne divise pas 132, donc 15 sachets sont impossibles.
Partie A, question 2. a)
Écrire la décomposition en facteurs premiers de 330 et de 132.
330 = 2 × 165 = 2 × 3 × 55 = 2 × 3 × 5 × 11
132 = 2 × 66 = 2 × 2 × 33 = 2 × 2 × 3 × 11
330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 132 = 2² × 3 × 11.
Partie A, question 2. b)
Utiliser ces décompositions pour trouver le nombre maximal de sachets.
Le nombre de sachets est un diviseur commun de 330 et de 132. On cherche le plus grand.
Il s’obtient en multipliant les facteurs premiers communs aux deux décompositions : 2, 3 et 11.
2 × 3 × 11 = 66
La présidente pourra réaliser au plus 66 sachets.
Conseil : Le facteur 2 n’apparaît qu’une fois dans 330 : il ne compte qu’une fois dans le produit.
Partie A, question 2. c)
Donner le contenu de chaque sachet dans ce cas.
330 ÷ 66 = 5 autocollants par sachet.
132 ÷ 66 = 2 drapeaux par sachet.
Chaque sachet contient 5 autocollants et 2 drapeaux.
Partie B
Calculer le coût du remplissage de la piscine.
La figure donne les dimensions du pavé droit : 25 m, 15 m et 2 m.
Volume de la piscine : 25 × 15 × 2 = 750 m³
La piscine est remplie aux 9/10 : 750 × 9/10 = 675 m³
Coût : 675 × 4,14 = 2 794,50 €
Contrôle : le coût de la piscine pleine serait 750 × 4,14 = 3 105 €, et 3 105 × 0,9 = 2 794,50 €.
Le remplissage coûte 2 794,50 €.
Conseil : Le prix s’applique au volume d’eau réellement versé. Écris les trois étapes : volume total, volume d’eau, coût.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, question 3. a) : compter 6 numéros et répondre 6/37.
Compter aussi le 0 : il y a 7 numéros, donc la probabilité est 7/37.
La roue commence à 0, et 0 est bien inférieur ou égal à 6.
Exercice 2, question 1. b) : écrire (−7) × (−10) = −70.
Écrire (−7) × (−10) = 70.
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Exercice 3, question 3 : écrire AE/EB = AF/AD, avec EB = 6,3 cm.
Écrire AE/AB = AF/AD, soit 2,7/9 = AF/7,2.
Dans le théorème de Thalès, chaque quotient compare une longueur du petit triangle AEF à la longueur correspondante du grand triangle ABD, toutes deux mesurées depuis le sommet commun A.
Exercice 4, question 5 : prendre la 4ᵉ valeur de la liste du sujet et répondre 1,72.
Ranger d’abord les valeurs dans l’ordre croissant, ce qui donne 1,67.
La médiane partage une série ordonnée en deux : sans classement, la valeur du milieu ne veut rien dire.
Exercice 5, partie B : calculer 750 × 4,14 = 3 105 €.
Prendre d’abord les 9/10 du volume, soit 675 m³, ce qui donne 2 794,50 €.
La piscine n’est pas remplie entièrement : seule l’eau versée est payée.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet de maths du brevet 2024 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 20 points, l’exercice 2 en vaut 20, l’exercice 3 en vaut 22, l’exercice 4 en vaut 18 et l’exercice 5 en vaut 20.
Faut-il justifier les réponses du QCM ?
Non. Pour l’exercice 4, il suffit de recopier le numéro de la question et la lettre choisie. Toutes les autres réponses doivent être justifiées, sauf indication contraire.
Le 0 compte-t-il dans l’exercice sur la roulette ?
Oui, il fait partie des 37 numéros et il compte parmi les numéros inférieurs ou égaux à 6. En revanche, il ne compte pas à la question 2, car sa case n’est pas noire sur la figure.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.