Le sujet en bref
Sujet de la session de remplacement de septembre 2024, en cinq exercices à 20 points : cinq affirmations à vérifier, un champ à moissonner (Thalès, aire, proportionnalité, Pythagore), des panneaux solaires (statistiques, pourcentage, trigonométrie), une fonction étudiée au tableur puis factorisée, et un losange tracé avec Scratch.
Exercice 1 : cinq affirmations, vraies ou fausses (20 points)
Pour chaque affirmation, il faut trancher et justifier. Une réponse sans justification ne suffit pas.
Affirmation 1
Dire si 4 × 5 × 13 est la décomposition de 260 en produit de facteurs premiers.
Le produit 4 × 5 × 13 vaut bien 260, mais 4 n’est pas un nombre premier, car 4 = 2 × 2.
La décomposition en produit de facteurs premiers est : 260 = 2 × 2 × 5 × 13 = 2² × 5 × 13.
L’affirmation 1 est fausse.
Conseil : Deux conditions sont à vérifier : le produit doit valoir 260, et chaque facteur doit être premier. Ici, seule la première est remplie.
Affirmation 2
Comparer la probabilité de tirer une boule rouge dans la première urne et celle de tirer un C dans la seconde.
Les boules sont indiscernables au toucher : dans chaque urne, elles ont la même probabilité d’être tirées.
La première urne contient 3 + 4 + 8 = 15 boules, dont 8 rouges. P(rouge) = 8/15.
La seconde urne contient 1 + 1 + 3 = 5 boules, dont 3 marquées C. P(C) = 3/5.
On compare avec le même dénominateur : 3/5 = 9/15, et 8/15 < 9/15.
En valeurs approchées : 8/15 ≈ 0,53 et 3/5 = 0,6.
L’affirmation 2 est fausse : la probabilité d’obtenir un C est plus grande.
Conseil : Il y a plus de boules rouges que de boules C, mais une probabilité compare au nombre total de boules de chaque urne.
Affirmation 3
Dire si −1,4 est la solution de 7x + 5 = 2x − 2.
On soustrait 2x de chaque côté : 5x + 5 = −2.
On soustrait 5 de chaque côté : 5x = −7.
x = −7/5 = −1,4
Vérification : 7 × (−1,4) + 5 = −9,8 + 5 = −4,8 et 2 × (−1,4) − 2 = −2,8 − 2 = −4,8.
L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4
Dire si le cylindre formé par les 10 pièces a un volume de 6 cm³, arrondi à l’unité.
Le rayon est la moitié du diamètre : R = 1,9 ÷ 2 = 0,95 cm.
La hauteur de la pile est h = 10 × 0,2 = 2 cm.
V = π × R² × h = π × 0,95² × 2 = π × 0,902 5 × 2 = 1,805π
V ≈ 5,67 cm³, soit 6 cm³ arrondi à l’unité.
L’affirmation 4 est vraie.
Conseil : La formule utilise le rayon. Avec le diamètre 1,9 à la place du rayon, on trouve environ 23 cm³ et on conclut à tort.
Affirmation 5
Dire si 5 m/s est plus rapide que 17 km/h.
Il faut exprimer les deux vitesses dans la même unité.
À 5 m/s, l’éléphant parcourt 5 m en 1 s, donc 5 × 3 600 = 18 000 m en 1 h, car 1 h = 3 600 s.
18 000 m = 18 km : sa vitesse est de 18 km/h.
Or 18 km/h > 17 km/h.
Autre chemin : 17 km/h = 17 000 m ÷ 3 600 s ≈ 4,7 m/s, ce qui est inférieur à 5 m/s.
L’affirmation 5 est vraie.
Exercice 2 : moissonner un champ triangulaire (20 points)
Le champ ABC de la page 3 du sujet est rectangle en B, avec AB = 200 m et BC = 150 m. La moissonneuse coupe des bandes de 12 m de large, parallèles à (AB). Sur la figure, le codage indique que les cinq segments de [BG] ont la même longueur : les bandes se suivent sans se chevaucher.
Question 1. a)
Retrouver les 60 m de BG à partir des 5 passages.
Après 5 passages, la moissonneuse a coupé 5 bandes de 12 m de large, côte à côte, à partir de [AB].
BG = 5 × 12 = 60 m
BG = 60 m.
Question 1. b)
Retrouver les 90 m de CG à partir de BG.
Le point G appartient au segment [BC], donc CG = BC − BG.
CG = 150 − 60 = 90 m
CG = 90 m.
Question 2
Démontrer que GF = 120 m.
Les bandes sont parallèles à (AB), donc les droites (GF) et (AB) sont parallèles. La figure le confirme : ces deux droites sont perpendiculaires à (BC).
Les points C, G, B sont alignés et les points C, F, A sont alignés.
D’après le théorème de Thalès dans le triangle CAB :
CG/CB = CF/CA = GF/BA
On utilise l’égalité qui ne contient qu’une seule inconnue : 90/150 = GF/200.
GF = (200 × 90)/150 = 18 000/150 = 120 m
GF = 120 m.
Conseil : Le résultat est donné : la rédaction fait la note. Cite les points alignés, les droites parallèles et le théorème. Les longueurs se mesurent à partir du sommet commun C.
Question 3. a)
Démontrer que l’aire du triangle CGF vaut 5 400 m².
Le triangle CGF est rectangle en G : [CG] et [GF] sont les côtés de l’angle droit. Ils servent de base et de hauteur.
Aire = (CG × GF)/2 = (90 × 120)/2 = 10 800/2 = 5 400 m²
Contrôle : l’aire du champ est (200 × 150)/2 = 15 000 m², et 9 600 + 5 400 = 15 000.
L’aire du triangle CGF est bien de 5 400 m².
Question 3. b)
Calculer le temps de travail pour moissonner la partie restante.
Le temps de travail est proportionnel à la surface moissonnée : 9 600 m² correspondent à 80 minutes.
Par un produit en croix : t = (5 400 × 80)/9 600 = 432 000/9 600 = 45 minutes.
Autre chemin : la machine moissonne 9 600 ÷ 80 = 120 m² par minute, et 5 400 ÷ 120 = 45.
Il faut 45 minutes pour moissonner la partie restante.
Question 4
Calculer la longueur de clôture nécessaire pour entourer le champ.
Il faut le périmètre du triangle ABC, donc d’abord la longueur AC. On suppose que la clôture fait tout le tour du champ, sans ouverture : le sujet ne parle pas de portail.
Le triangle ABC est rectangle en B et son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 200² + 150² = 40 000 + 22 500 = 62 500
AC = √62 500 = 250 m
Périmètre = 200 + 150 + 250 = 600 m
Vérification : 150, 200 et 250 sont proportionnels à 3, 4 et 5, et 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
L’agriculteur doit acheter 600 m de clôture.
Conseil : La question ne cite pas Pythagore : à toi de voir que le troisième côté manque. Ne t’arrête pas à AC, la réponse est le périmètre.
Exercice 3 : panneaux solaires, statistiques et trigonométrie (20 points)
Le tableau de la page 4 du sujet donne la production d’électricité de chaque jour d’une semaine, en kWh. Le schéma de la même page montre le triangle OLV, rectangle en V, avec OL = 13,5 m et OV = 7 m.
Question 1. a)
Trouver le jour de la plus forte production.
La plus grande valeur du tableau est 405 kWh, dans la colonne du samedi.
La production a été la plus grande le samedi.
Question 1. b)
Calculer l’étendue des productions.
L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur.
La plus petite valeur est 322 kWh, le mercredi.
405 − 322 = 83
L’étendue est de 83 kWh.
Question 1. c)
Calculer la production moyenne par jour.
Production totale : 381 + 363 + 322 + 329 + 393 + 405 + 376 = 2 569 kWh.
Moyenne : 2 569 ÷ 7 = 367.
Contrôle : 7 × 367 = 2 569. La division tombe juste.
La production moyenne est de 367 kWh par jour.
Question 2
Calculer la somme gagnée en 7 jours par la revente de 15 % de la production.
L’électricité revendue représente 15 % de la production de la semaine : 2 569 × 15/100 = 385,35 kWh.
Le tarif de 8 centimes s’écrit 0,08 € par kWh.
385,35 × 0,08 = 30,828 €
Le sujet ne demande pas d’arrondi. Pour une somme d’argent, on arrondit au centime : 30,83 €.
On compte ici la seule recette de la vente : le sujet ne donne aucun coût.
L’entreprise a gagné environ 30,83 € pendant ces 7 jours.
Conseil : Le pourcentage s’applique à la production des 7 jours, 2 569 kWh, et non à la moyenne d’un jour. Convertis les centimes en euros : la réponse est demandée en euros.
Question 3
Dire si la pente du toit permet une production maximale.
La condition est une pente comprise entre 30° et 35°. Il faut calculer l’angle OLV.
Dans le triangle OLV rectangle en V, [OV] est le côté opposé à l’angle OLV et [OL] est l’hypoténuse.
sin(OLV) = OV/OL = 7/13,5
À la calculatrice, l’angle OLV mesure environ 31,2°.
Vérification par un autre chemin : d’après le théorème de Pythagore, LV² = 13,5² − 7² = 182,25 − 49 = 133,25, donc LV ≈ 11,54 m. Alors tan(OLV) = 7/√133,25 ≈ 0,606, ce qui redonne environ 31,2°.
Or 30° ≤ 31,2° ≤ 35°.
Oui, les panneaux solaires ont une production maximale sur ce toit.
Conseil : Repère d’abord l’hypoténuse : 13,5 m est la longueur du toit, en face de l’angle droit. Le sinus s’impose, car on connaît le côté opposé et l’hypoténuse.
Exercice 4 : fonction, tableur et factorisation (20 points)
La fonction étudiée est f(x) = x² + 10x + 16. Le tableur de la page 5 du sujet donne les images des entiers de −4 à 4 : les nombres sont en ligne 1, de B à J, et leurs images en ligne 2.
Question 1
Vérifier que l’image de 6 par f est 112.
f(6) = 6² + 10 × 6 + 16
f(6) = 36 + 60 + 16 = 112
L’image de 6 par f est bien 112.
Question 2. a)
Choisir la formule saisie en B2 puis étirée vers la droite.
La cellule B2 calcule l’image du nombre placé juste au-dessus, en B1. La formule doit donc utiliser B1.
Quand on l’étire vers la droite, B1 devient C1, puis D1, et chaque colonne calcule l’image de son propre nombre.
La formule avec A1 utilise une cellule qui contient du texte, la lettre x.
La formule avec (−4) donnerait le même résultat dans toutes les cellules, car elle ne contient aucune référence de cellule.
La formule avec x n’est pas valable : x n’est pas une cellule du tableur.
Contrôle : pour −4, (−4) × (−4) + 10 × (−4) + 16 = 16 − 40 + 16 = −8, la valeur affichée en B2.
=B1*B1+10*B1+16
Question 2. b)
Lire dans le tableau un antécédent de 0.
Un antécédent de 0 est un nombre dont l’image vaut 0. On cherche donc 0 sur la ligne 2.
Le 0 se trouve dans la colonne D, sous −2 : f(−2) = 0.
−2 est un antécédent de 0 par f.
Conseil : Ne confonds pas avec l’image de 0, qui est 16 : elle se lit dans l’autre sens du tableau.
Question 3. a)
Démontrer que f(x) s’écrit (x + 2)(x + 8).
On développe avec la double distributivité :
(x + 2)(x + 8) = x × x + x × 8 + 2 × x + 2 × 8
(x + 2)(x + 8) = x² + 8x + 2x + 16
(x + 2)(x + 8) = x² + 10x + 16 = f(x)
On a bien f(x) = (x + 2)(x + 8).
Conseil : Pars de la forme factorisée et développe : c’est le chemin le plus simple. Factoriser x² + 10x + 16 directement est beaucoup plus difficile.
Question 3. b)
Trouver un second antécédent de 0 grâce à la forme factorisée.
On résout f(x) = 0, c’est-à-dire (x + 2)(x + 8) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
x + 2 = 0 ou x + 8 = 0
x = −2 ou x = −8
On retrouve −2. L’autre antécédent est −8.
Vérification : f(−8) = (−8)² + 10 × (−8) + 16 = 64 − 80 + 16 = 0.
−8 est un autre antécédent de 0 par f.
Conseil : Le tableau ne pouvait pas le montrer : il s’arrête à −4.
Exercice 5 : un losange et des rosaces avec Scratch (20 points)
Le quadrilatère ABCD de la page 6 du sujet est formé de deux triangles équilatéraux de 5 cm de côté, ABC et ACD, qui partagent le côté [AC]. Les programmes et les figures de la question 3 sont à la page 7.
Question 1. a)
Construire ABCD à sa taille réelle.
Cette question se fait sur la copie, à la règle et au compas.
Trace le segment [BC] de 5 cm.
Avec un écartement de 5 cm, trace un arc de centre B et un arc de centre C : ils se coupent en A, au-dessus de [BC].
Garde le même écartement et trace un arc de centre A et un arc de centre C : ils se coupent en B et en un second point, D.
Trace [AB], [AC], [AD] et [CD].
Conseil : Laisse les arcs de compas visibles : ils montrent que tu as construit la figure sans la mesurer à l’œil. Pour contrôler, vérifie que les cinq segments mesurent 5 cm.
Question 1. b)
Donner la nature du quadrilatère ABCD.
Les triangles ABC et ACD sont équilatéraux de côté 5 cm, donc AB = BC = CD = DA = 5 cm.
Un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur est un losange.
ABCD est un losange.
Question 1. c)
Démontrer que l’angle BCD mesure 120°.
Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°. Donc BCA = 60° et ACD = 60°.
Le segment [CA] sépare l’angle BCD en ces deux angles.
BCD = BCA + ACD = 60° + 60° = 120°
L’angle BCD mesure bien 120°.
Question 2
Compléter les lignes 5 et 6 du bloc Motif.
La figure de droite montre le point de départ : le coin en bas à gauche, qui correspond à B. Le bloc ne fixe pas l’orientation du lutin. On suppose qu’il regarde vers la droite, comme dans les programmes de la question 3. Les flèches des lignes 4 et 6 le font tourner vers la gauche.
Tous les côtés mesurent 5 cm. Comme 10 pas représentent 1 cm, un côté vaut 5 × 10 = 50 pas.
À chaque coin, le lutin tourne de 180° moins l’angle intérieur du losange.
Lignes 3 et 4 : il parcourt [BC], puis tourne en C de 180° − 120° = 60°, ce qui est écrit dans le programme.
Ligne 5 : il parcourt [CD], soit 50 pas.
Ligne 6 : en D, l’angle intérieur mesure 60°, donc il tourne de 180° − 60° = 120°.
Le deuxième passage dans la boucle trace [DA] et [AB] de la même façon.
Contrôle : 60 + 120 + 60 + 120 = 360. Le lutin a fait un tour complet et retrouve son orientation de départ.
Ligne 5 : avancer de 50 pas. Ligne 6 : tourner de 120 degrés.
Conseil : L’angle à entrer dans Scratch n’est pas l’angle de la figure, mais le changement de direction du lutin. C’est le piège de la ligne 6.
Question 3
Associer chaque programme à la figure qu’il trace.
Le bloc Motif ramène le lutin à son point de départ, avec son orientation de départ. Seules les instructions placées après Motif, dans la boucle, déplacent donc le lutin.
Le programme A le fait seulement tourner de 72° : les cinq losanges partent tous du même point et ils sont répartis autour de lui, car 5 × 72° = 360°. C’est la figure 2.
Le programme C le fait seulement avancer de 25 pas : les losanges gardent la même orientation et se décalent en ligne droite. C’est la figure 1.
Le programme B le fait tourner de 72°, puis avancer de 25 pas : les losanges tournent autour du centre, mais leurs points de départ sont différents. Ils ne se rejoignent pas en un seul point : un petit pentagone apparaît au milieu. C’est la figure 3.
Le programme A trace la figure 2, le programme B la figure 3 et le programme C la figure 1.
Conseil : Compare les boucles : pas de rotation, pas de changement d’orientation des losanges. Pas d’avancée, un seul point de départ commun.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 1, affirmation 1 : répondre vrai, parce que 4 × 5 × 13 = 260.
Répondre faux : 260 = 2² × 5 × 13.
Une décomposition en produit de facteurs premiers ne contient que des nombres premiers, et 4 n’en est pas un.
Exercice 2, question 4 : répondre 250 m, la longueur AC.
Ajouter les trois côtés : 200 + 150 + 250 = 600 m.
La clôture entoure tout le champ. AC n’est qu’une étape du calcul du périmètre.
Exercice 3, question 2 : calculer 15 % de 367 kWh, ce qui donne environ 4,40 €.
Calculer 15 % de 2 569 kWh, ce qui donne environ 30,83 €.
La question porte sur les 7 jours, pas sur un jour moyen.
Exercice 3, question 3 : écrire tan(OLV) = 7/13,5, ce qui donne environ 27° et une conclusion fausse.
Écrire sin(OLV) = 7/13,5, ce qui donne environ 31,2°.
13,5 m est la longueur de l’hypoténuse. La tangente utilise le côté adjacent LV, qui n’est pas donné.
Exercice 5, question 2 : écrire 60 à la ligne 6, parce que l’angle du losange en D vaut 60°.
Écrire 120 à la ligne 6.
Le lutin tourne de 180° moins l’angle intérieur. Avec 60 partout, il tracerait quatre côtés d’un hexagone et ne reviendrait pas à son point de départ.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet de maths du brevet de septembre 2024 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Le sujet compte 7 pages et cinq exercices.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
Chacun des cinq exercices vaut 20 points. Le sujet ne donne pas le détail des points par question.
Faut-il justifier les réponses du vrai ou faux ?
Oui. Le sujet le précise pour l’exercice 1 : chaque réponse doit être justifiée. Une affirmation fausse se réfute avec un calcul ou un contre-exemple.
La calculatrice est-elle autorisée pour ce sujet ?
Oui. Le sujet autorise la calculatrice avec mode examen actif et la calculatrice sans mémoire de type collège. Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.