Le sujet en bref
Sujet de la session de remplacement de septembre 2023, en cinq exercices : un QCM de cinq questions, des losanges tracés avec Scratch et une rotation, deux tarifs de piscine (fonctions, équation, statistiques, volume), un funiculaire (prix, pourcentage, vitesse, pente) et un triangle à étudier avec Pythagore, la trigonométrie et Thalès.
Exercice 1 : QCM (20 points)
Aucune justification n’est demandée : il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse choisie. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Trouver la liste qui contient trois diviseurs de 84.
84 = 2 × 42, 84 = 3 × 28 et 84 = 4 × 21 : les nombres 2, 3 et 4 sont des diviseurs de 84.
La réponse A contient 168 et 252, qui sont des multiples de 84 et non des diviseurs.
La réponse C contient 5 : 84 ne se termine ni par 0 ni par 5, donc 5 ne le divise pas.
Réponse B : 2, 3 et 4.
Question 2
Trouver par quel nombre le volume est multiplié dans un agrandissement de coefficient 2.
Dans un agrandissement de coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.
Ici, k = 2 et 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Réponse B : 8.
Conseil : La réponse A, 2, est le coefficient des longueurs. La réponse C, 4, est celui des aires.
Question 3
Calculer x² + 3x − 5 pour x = −2.
(−2)² + 3 × (−2) − 5 = 4 − 6 − 5 = −7
Réponse C : −7.
Conseil : Mets des parenthèses autour de −2 : (−2)² vaut 4, et non −4. Avec −4, on trouve la réponse A, −15.
Question 4
Calculer la probabilité de tirer un multiple de 2 parmi des boules numérotées de 1 à 8.
La boule est tirée au hasard : les 8 boules ont la même probabilité d’être tirées.
Les multiples de 2 sont 2, 4, 6 et 8 : il y en a 4.
P = 4/8 = 1/2
Réponse A : 1/2.
Question 5
Trouver le rapport de l’homothétie de centre O qui envoie ABC sur DEF.
Sur la figure, le centre O se trouve entre A et D, entre B et E, entre C et F. Le triangle et son image sont de part et d’autre de O : le rapport est négatif.
Le triangle DEF est plus grand que ABC. Sur la figure, EF est le double de BC et OD le double de OA. La valeur absolue du rapport est donc 2.
Réponse A : −2.
Conseil : La réponse C, −1/2, correspond à la transformation inverse, de DEF vers ABC. L’image est plus grande que le triangle de départ : le rapport doit être supérieur à 1 en valeur absolue.
Exercice 2 : losanges, Scratch et rotation (14 points)
Le bloc losange de la page 3 du sujet trace un losange de 50 pas de côté. La page 4 présente trois scripts, trois figures, puis une étoile de six losanges et le programme qui la dessine.
Question 1
Compléter les lignes 3 et 6 du bloc losange.
Le sujet ne donne ni le point de départ ni l’orientation du lutin dans cette question. On suppose qu’il part du coin en haut à gauche et qu’il regarde vers la droite, comme dans les scripts de la question 2.
Un passage dans la boucle trace deux côtés (lignes 4 et 6) et fait deux rotations (lignes 5 et 7). Un losange a quatre côtés : il faut 2 passages.
Tous les côtés d’un losange ont la même longueur : la ligne 6 avance aussi de 50 pas.
Ligne 3 : répéter (2) fois
Ligne 6 : avancer de (50) pas
Contrôle : 60 + 120 + 60 + 120 = 360. Le lutin a fait un tour complet et revient à son point de départ avec son orientation de départ.
Ligne 3 : 2. Ligne 6 : 50.
Question 2
Associer chaque script à sa figure.
Aucune justification n’est demandée. Voici le raisonnement.
Le bloc losange ramène le lutin à son point de départ et relève le stylo. Le déplacement qui suit ne laisse donc pas de trait.
Le script 1 avance de 50 pas, soit la longueur d’un côté : chaque losange commence où finit le côté du haut du précédent. Les losanges se touchent : c’est la figure C.
Le script 2 avance de 100 pas : il reste un espace entre les losanges. C’est la figure A.
Le script 3 avance de 50 pas et ajoute 30 à y : chaque losange est plus haut que le précédent. C’est la figure B.
Script 1 : figure C. Script 2 : figure A. Script 3 : figure B.
Question 3
Décrire une transformation qui envoie le losange EDCF sur le losange ABCD.
Le programme répète 6 fois la même chose : il dessine un losange, puis il tourne de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre. Les six losanges partent du même point, le centre de l’étoile : C.
Dans la rotation de centre C et d’angle 60°, dans ce sens, E a pour image A, D a pour image B, F a pour image D et C reste fixe.
Une autre réponse est juste : la symétrie d’axe (CD) envoie aussi le losange EDCF sur le losange ABCD : E a pour image A, F a pour image B, C et D restent fixes. La rotation est celle que décrit le programme.
Une transformation qui convient : la rotation de centre C, d’angle 60°, dans le sens des aiguilles d’une montre.
Conseil : Une rotation se décrit avec trois éléments : le centre, l’angle et le sens. Ne donner que le mot « rotation » ne répond pas à la demande de préciser les caractéristiques.
Exercice 3 : tarifs, statistiques et volume d’une piscine (22 points)
Tarif A : 5,90 € l’entrée. Tarif B : 4,40 € l’entrée, avec une carte d’abonnement annuelle de 30 €. Le tableau de la page 5 du sujet donne le nombre d’entrées pour chaque mois d’une année.
Question 1. a)
Calculer le prix de 10 entrées avec le tarif A.
10 × 5,90 = 59
Le prix est de 59 €.
Question 1. b)
Calculer le prix de 10 entrées avec le tarif B.
On paie les 10 entrées et la carte d’abonnement.
10 × 4,40 + 30 = 44 + 30 = 74
Le prix est de 74 €.
Question 2
Donner les expressions de f(x) et de g(x).
Avec le tarif A, chaque entrée coûte 5,90 € : f(x) = 5,90x.
Avec le tarif B, chaque entrée coûte 4,40 € et la carte coûte 30 € une seule fois : g(x) = 4,40x + 30.
Contrôle avec la question 1 : f(10) = 59 et g(10) = 74.
f(x) = 5,90x et g(x) = 4,40x + 30.
Question 3. a)
Résoudre 5,90x = 4,40x + 30.
On soustrait 4,40x de chaque côté : 1,50x = 30.
On divise par 1,50 : x = 30 ÷ 1,50 = 20.
La solution de l’équation est 20.
Question 3. b)
Trouver le nombre d’entrées pour lequel les deux tarifs coûtent le même prix.
Les deux prix sont égaux quand f(x) = g(x), c’est-à-dire pour la solution de l’équation de la question 3. a).
Vérification : 5,90 × 20 = 118 € et 4,40 × 20 + 30 = 88 + 30 = 118 €.
Les deux tarifs donnent le même prix pour 20 entrées, soit 118 €.
Question 4. a)
Trouver la moyenne mensuelle des entrées.
Total de l’année : 12 500 + 13 700 + 10 400 + 13 600 + 12 300 + 11 700 + 10 400 + 11 600 + 10 200 + 13 800 + 12 600 + 11 800 = 144 600.
Moyenne : 144 600 ÷ 12 = 12 050.
Contrôle : 12 × 12 050 = 144 600.
La moyenne est de 12 050 entrées par mois.
Question 4. b)
Trouver l’étendue des entrées mensuelles.
La plus grande valeur est 13 800 (octobre) et la plus petite est 10 200 (septembre).
13 800 − 10 200 = 3 600
L’étendue est de 3 600 entrées.
Conseil : Le tableau n’est pas rangé : le minimum n’est pas 10 400, qui apparaît deux fois, mais 10 200.
Question 5
Calculer le volume d’eau évacué lors de la vidange de la piscine pleine.
La piscine est un pavé droit. Son volume est le produit de ses trois dimensions.
V = 50 × 25 × 3 = 3 750 m³
Le volume d’eau évacué est de 3 750 m³.
Exercice 4 : le funiculaire, prix, vitesse et pente (20 points)
Le document 1, à la page 6 du sujet, donne les tarifs individuels et les tarifs de groupe. Le document 2 montre le trajet de profil : [DA] mesure 448,5 m, et le dénivelé BC vaut 50 m.
Question 1. a)
Calculer le prix de l’aller-retour du groupe au tarif individuel.
Les enfants ont de 6 à 10 ans : ils ont droit au tarif enfant, accordé de 5 à 11 ans.
Un aller-retour coûte 10 € par adulte et 8 € par enfant.
12 × 10 + 8 × 8 = 120 + 64 = 184
Le groupe paie 184 € au tarif individuel.
Question 1. b)
Calculer le prix de l’aller-retour au tarif de groupe.
Le groupe compte 12 + 8 = 20 personnes : il a droit au tarif de groupe, accordé à partir de 20 personnes.
Un aller-retour coûte 8,50 € par adulte et 7 € par enfant.
12 × 8,50 + 8 × 7 = 102 + 56 = 158
Le groupe paie 158 € au tarif de groupe.
Question 1. c)
Calculer le pourcentage de réduction du tarif de groupe par rapport au tarif individuel.
La réduction est de 184 − 158 = 26 €.
On la compare au prix de départ, le tarif individuel : 26/184 ≈ 0,141.
Le sujet ne précise pas d’arrondi. On donne le résultat au dixième : environ 14,1 %.
Contrôle : 184 × (1 − 0,141) ≈ 158.
La réduction est d’environ 14,1 %.
Question 2
Calculer la vitesse moyenne sur [DA] en m/s, au centième près.
On convertit la durée en secondes : 8 min 45 s = 8 × 60 + 45 = 525 s.
v = d/t = 448,5/525 ≈ 0,854
Au centième près, cela donne 0,85 m/s.
La vitesse moyenne est d’environ 0,85 m/s.
Conseil : Une durée n’est pas un nombre décimal : 8 min 45 s ne vaut ni 8,45 min ni 845 s. Convertis tout en secondes.
Question 3
Calculer la longueur horizontale AC, avec une pente de 25 % et un dénivelé de 50 m.
Une pente de 25 % signifie que le quotient dénivelé sur longueur horizontale vaut 25/100 = 0,25.
D’après la définition du sujet : 0,25 = 50/AC.
AC = 50 ÷ 0,25 = 200 m
Vérification : 50/200 = 0,25 = 25 %.
La longueur horizontale AC est de 200 m.
Conseil : Pour une pente de 25 %, on monte de 25 m tous les 100 m à l’horizontale : un dénivelé de 50 m demande donc 200 m.
Exercice 5 : Pythagore, trigonométrie et Thalès dans un triangle (24 points)
Sur la figure de la page 8 du sujet, M est sur [AB], N sur [AC], H sur [BC], et (MN) est parallèle à (BC). On donne AC = 8,5 cm, AM = 2,7 cm, MB = 2,5 cm et BH = 2 cm. L’énoncé ne dit pas que (AH) est perpendiculaire à (BC) : l’angle droit en H vient du codage de la figure, et on le considère comme une donnée.
Question 1
Trouver la longueur du côté [AB].
M appartient au segment [AB], donc AB = AM + MB.
AB = 2,7 + 2,5 = 5,2 cm
AB = 5,2 cm.
Question 2
Montrer que AH = 4,8 cm.
D’après le codage de la figure, le triangle ABH est rectangle en H. Son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
AB² = AH² + BH²
5,2² = AH² + 2²
27,04 = AH² + 4
AH² = 27,04 − 4 = 23,04
AH = √23,04 = 4,8 cm
Vérification : 4,8 × 4,8 = 23,04.
AH = 4,8 cm.
Conseil : Le résultat est donné : la rédaction fait la note. Cite le triangle rectangle, le théorème et l’égalité avec les bonnes lettres.
Question 3
Calculer l’angle ACH, arrondi au degré.
Dans le triangle ACH rectangle en H, [AH] est le côté opposé à l’angle ACH et [AC] est l’hypoténuse.
sin(ACH) = AH/AC = 4,8/8,5
À la calculatrice, l’angle ACH mesure environ 34,4°, soit 34° au degré près.
L’angle ACH mesure environ 34°.
Question 4
Calculer HC, arrondi au centimètre.
Le triangle ACH est rectangle en H et son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
AC² = AH² + HC²
8,5² = 4,8² + HC²
72,25 = 23,04 + HC²
HC² = 72,25 − 23,04 = 49,21
HC = √49,21 ≈ 7,01 cm, soit 7 cm au centimètre près.
Vérification par un autre chemin : cos(ACH) = HC/AC, donc HC ≈ 8,5 × cos(34,4°) ≈ 7,01 cm.
HC ≈ 7 cm.
Conseil : Préfère Pythagore à un calcul à partir de l’angle arrondi : il part de longueurs exactes et n’accumule pas d’erreur d’arrondi.
Question 5
Dire si AN est inférieure à 4 cm.
Les points A, M, B sont alignés, les points A, N, C sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
On utilise l’égalité qui ne contient qu’une seule inconnue : 2,7/5,2 = AN/8,5.
AN = (2,7 × 8,5)/5,2 = 22,95/5,2 ≈ 4,41 cm
Or 4,41 > 4.
Non, l’élève a tort : AN ≈ 4,41 cm, ce qui est supérieur à 4 cm.
Conseil : La figure n’est pas à l’échelle : mesurer AN à la règle ne prouve rien. Le rapport est AM/AB, avec AB = 5,2 cm, et non AM/MB.
Question 6
Trouver l’aire de AHC.
Le triangle AHC est rectangle en H : [HC] et [AH] sont les côtés de l’angle droit. Ils servent de base et de hauteur.
Aire = (HC × AH)/2
Avec la valeur arrondie de la question 4 : (7 × 4,8)/2 = 33,6/2 = 16,8 cm².
Le sujet ne dit pas quelle valeur de HC utiliser. Avec HC = √49,21, on obtient environ 16,84 cm², soit le même résultat au dixième près.
L’aire du triangle AHC est d’environ 16,8 cm².
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 3, question 1. b) : calculer 10 × 4,40 = 44 €, en oubliant la carte.
Ajouter la carte d’abonnement : 44 + 30 = 74 €.
Le tarif réduit n’existe qu’avec la carte. Elle se paie une seule fois, d’où le + 30 dans g(x).
Exercice 4, question 1. c) : calculer 26/158, ce qui donne environ 16,5 %.
Calculer 26/184, ce qui donne environ 14,1 %.
Une réduction se calcule par rapport au prix de départ. Ici, c’est le tarif individuel, 184 €.
Exercice 4, question 2 : prendre 8,45 min ou 845 s pour la durée.
Convertir : 8 × 60 + 45 = 525 s.
Une minute compte 60 secondes. Les 45 s ne sont pas des centièmes de minute.
Exercice 5, question 5 : écrire 2,7/2,5 = AN/8,5, ce qui donne environ 9,18 cm.
Écrire 2,7/5,2 = AN/8,5, ce qui donne environ 4,41 cm.
Les longueurs se mesurent à partir du sommet commun A. Et AN ne peut pas dépasser AC = 8,5 cm : le résultat 9,18 cm était impossible.
Exercice 2, question 3 : répondre seulement « une rotation ».
Préciser le centre C, l’angle de 60° et le sens des aiguilles d’une montre.
Le sujet demande les caractéristiques de la transformation. Sans elles, il existe une infinité de rotations.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet de maths du brevet de septembre 2023 ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. Le sujet compte 8 pages et cinq exercices.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
Exercice 1 : 20 points. Exercice 2 : 14 points. Exercice 3 : 22 points. Exercice 4 : 20 points. Exercice 5 : 24 points. Le sujet ne donne pas le détail des points par question.
Faut-il justifier les réponses du QCM ?
Non. Pour l’exercice 1, il suffit de recopier le numéro de la question et la réponse choisie. La question 2 de l’exercice 2 est aussi dispensée de justification. Les autres réponses doivent être justifiées.
La calculatrice est-elle autorisée pour ce sujet ?
Oui. Le sujet autorise la calculatrice avec mode examen actif et la calculatrice sans mémoire de type collège. Le dictionnaire est interdit.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.