Le sujet en bref
Le sujet de Nouvelle-Calédonie compte six exercices : un QCM de cinq questions, des paniers de légumes à composer avec les diviseurs communs, l’isolation d’un toit avec trigonométrie et Pythagore, une randonnée avec Thalès et vitesse moyenne, des fonctions avec graphique et tableur, puis un hexagone sur Scratch. Il fallait notamment trouver 8 rouleaux, 393,6 kg de ouate et les solutions x = 2 et x = −2.
Exercice 1 : QCM (15 points)
Aucune justification n’est demandée : sur la copie, il suffit d’écrire le numéro de la question et la lettre choisie. Une mauvaise réponse ne retire aucun point. Les explications ci-dessous servent à comprendre chaque réponse.
Question 1
Choisir l’écriture qui peut être une probabilité.
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
2,7 × 10⁰ = 2,7 : c’est plus grand que 1.
2,7 × 10⁷ = 27 000 000 : c’est bien plus grand que 1.
2,7 × 10⁻⁷ = 0,000 000 27 : ce nombre est compris entre 0 et 1.
Réponse A : 2,7 × 10⁻⁷.
Question 2
Calculer l’expression fractionnaire proposée.
La multiplication passe avant la soustraction.
2/5 × 7/4 = 14/20
3/5 − 14/20 = 12/20 − 14/20 = −2/20 = −1/10
Réponse A : −1/10.
Conseil : Si tu calcules de gauche à droite, tu trouves 1/5 × 7/4 = 7/20 : c’est la proposition C, et elle est fausse.
Question 3
Trouver le taux de la remise sur le pantalon.
La baisse est de 80 − 60 = 20 €.
On la compare au prix de départ : 20/80 = 0,25 = 25 %.
Réponse B : 25 %.
Conseil : Ici, 20 est une baisse en euros, pas un pourcentage. Et 75 % est la part du prix de départ qui reste à payer.
Question 4
Repérer la propriété vraie de l’homothétie de centre A qui envoie B sur F.
D’après le codage, F est le milieu de [AB] et G est le milieu de [AD].
F est entre A et B, et AF = AB/2 : le rapport de l’homothétie est 1/2, et non 2.
Cette homothétie envoie D sur G, et non G sur D.
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : E est le milieu de [AC].
Donc AE = AC/2, et E est sur [AC] : l’homothétie envoie C sur E.
Réponse C : elle transforme C en E.
Question 5
Déterminer la valeur centrale de la série de neuf nombres.
On range les valeurs dans l’ordre croissant : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 17 ; 20.
Il y a 9 valeurs : la médiane est la 5ᵉ, soit 11.
Réponse C : 11.
Conseil : La proposition A est un piège : 3 est au milieu de la liste non rangée.
Exercice 2 : paniers de légumes (18 points)
José dispose de 39 salades, de 78 carottes et de 51 aubergines. Tous les paniers doivent être identiques et tous les légumes doivent être utilisés.
Question 1) a)
Écrire 78 et 51 comme produits de nombres premiers.
78 = 2 × 39 = 2 × 3 × 13
51 = 3 × 17
78 = 2 × 3 × 13 et 51 = 3 × 17.
Conseil : 17 est premier : la décomposition de 51 s’arrête là.
Question 1) b)
Trouver le plus grand nombre de paniers possible.
Le nombre de paniers doit diviser à la fois 39, 78 et 51, pour que chaque légume se répartisse sans reste.
On compare les décompositions : 39 = 3 × 13, 78 = 2 × 3 × 13 et 51 = 3 × 17.
Le seul facteur premier commun aux trois nombres est 3.
Le plus grand diviseur commun de 39, 78 et 51 est donc 3.
José peut préparer au maximum 3 paniers.
Question 1) c)
Donner le contenu d’un panier dans ce cas.
Salades : 39 ÷ 3 = 13.
Carottes : 78 ÷ 3 = 26.
Aubergines : 51 ÷ 3 = 17.
Chaque panier contient 13 salades, 26 carottes et 17 aubergines.
Question 2) a)
Trouver le nombre d’aubergines restantes avec 13 paniers.
On effectue la division euclidienne de 51 par 13 : 51 = 13 × 3 + 12.
Chaque panier reçoit 3 aubergines, ce qui en utilise 39, et il en reste 12.
12 aubergines ne seront pas utilisées.
Question 2) b)
Chercher le plus petit ajout d’aubergines qui évite tout reste.
Le nombre total d’aubergines doit être un multiple de 13.
Le premier multiple de 13 après 51 est 13 × 4 = 52.
52 − 51 = 1
Il doit cueillir au minimum 1 aubergine de plus. Chaque panier en contiendra 4.
Question 3
Déterminer combien de tomates cueillir, parmi les 110 à 125 disponibles.
Pour répartir les tomates dans les 13 paniers sans perte, leur nombre doit être un multiple de 13.
13 × 8 = 104 : c’est moins que 110.
13 × 9 = 117 : ce nombre est compris entre 110 et 125.
13 × 10 = 130 : c’est plus que 125.
Le seul multiple de 13 possible est 117.
Il doit cueillir au maximum 117 tomates, soit 9 par panier.
Exercice 3 : isolation (18 points)
Le plan de la page 5 n’est pas à l’échelle. On y lit AC = 2,5 m, AB = 8 m, BD = 4,3 m et un angle EFD de 30°. Le codage indique que AC, EB et FG ont la même longueur.
Question 1
Établir la longueur DE à partir du plan.
D’après le codage, EB = AC = 2,5 m.
Les points D, E et B sont alignés, avec E entre D et B.
DE = DB − EB = 4,3 − 2,5 = 1,8 m
DE = 1,8 m.
Question 2
Prouver que le toit de la terrasse mesure 3,6 m.
Le triangle DEF est rectangle en E, et son hypoténuse est [DF].
[DE] est le côté opposé à l’angle EFD. On utilise donc le sinus.
sin(EFD) = DE/DF
sin(30°) = 1,8/DF
DF = 1,8 ÷ sin(30°) = 1,8 ÷ 0,5 = 3,6 m
DF = 3,6 m.
Conseil : Écris le triangle utilisé, le sommet de l’angle droit et le rapport choisi : le sujet demande les étapes.
Question 3
Compter les rouleaux de laine de roche à acheter.
Aire du toit de la terrasse : 12 × 3,6 = 43,2 m².
Nombre de rouleaux : 43,2 ÷ 6 = 7,2.
7 rouleaux ne couvrent que 42 m², ce qui ne suffit pas. Il faut passer au nombre entier supérieur.
Il doit acheter 8 rouleaux.
Question 4
Prouver que le toit de la partie habitable mesure 8,2 m.
On trace le segment [CE], qui n’est pas sur le plan.
Les droites (AC) et (BE) sont perpendiculaires à (AB), donc parallèles. De plus, AC = BE = 2,5 m.
Le quadrilatère ABEC a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, et un angle droit en A : c’est un rectangle.
Donc CE = AB = 8 m, et le triangle CED est rectangle en E.
D’après le théorème de Pythagore, dans ce triangle d’hypoténuse [CD] :
CD² = CE² + DE²
CD² = 8² + 1,8² = 64 + 3,24 = 67,24
CD = √67,24 = 8,2 m
CD = 8,2 m.
Conseil : La clé est de faire apparaître le triangle rectangle CED. Justifie l’angle droit en E : il n’est pas donné pour ce triangle.
Question 5
Calculer la masse de ouate de cellulose nécessaire.
La couche de ouate forme un pavé droit de 12 m sur 8,2 m, sur une épaisseur de 10 cm, soit 0,1 m.
Volume : 12 × 8,2 × 0,1 = 9,84 m³.
Le sujet emploie le mot « densité », mais une valeur en kg/m³ est une masse volumique : 1 m³ de ouate a une masse de 40 kg.
Masse : 9,84 × 40 = 393,6 kg.
Il doit acheter 393,6 kg de ouate de cellulose.
Conseil : Mets les trois dimensions dans la même unité avant de multiplier : les 10 cm doivent devenir 0,1 m.
Exercice 4 : les roches de la Ouaïème (13 points)
Sur le schéma de la page 6, le parcours [DV] mesure 3,8 km et le panneau P est à 3 km du départ D. L’arrivée V est à 0,741 km d’altitude. Les angles en N et en M sont droits.
Question 1
Expliquer le parallélisme de (PN) et (VM).
D’après le codage, (PN) et (VM) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DM).
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Les droites (PN) et (VM) sont parallèles.
Question 2
Calculer l’altitude de Fabienne au panneau.
Les points D, P, V sont alignés, ainsi que les points D, N, M, et les droites (PN) et (VM) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
DP/DV = DN/DM = PN/VM
On utilise l’égalité 3/3,8 = PN/0,741.
PN = 3 × 0,741 ÷ 3,8 = 2,223 ÷ 3,8 = 0,585 km
Contrôle : 0,585 km est bien plus petit que 0,741 km.
Fabienne se trouve à 0,585 km d’altitude, soit 585 m.
Conseil : Le dénominateur est la longueur totale DV = 3,8 km, et non PV.
Question 3
Trouver sa vitesse moyenne sur les 3 premiers kilomètres.
Elle parcourt 3 km en 2 h.
Vitesse moyenne = distance ÷ durée = 3 ÷ 2 = 1,5 km/h
Sa vitesse moyenne sur [DP] est de 1,5 km/h.
Question 4
Comparer sa durée totale à la durée annoncée de 2 h 30 min.
Il lui reste à parcourir PV = 3,8 − 3 = 0,8 km.
Durée = distance ÷ vitesse = 0,8 ÷ 1,2 = 2/3 h
2/3 h = 2/3 × 60 min = 40 min
Durée totale : 2 h + 40 min = 2 h 40 min.
Comme 2 h 40 min > 2 h 30 min, la durée estimée est dépassée de 10 min.
Oui : elle met 2 h 40 min, soit 10 minutes de plus que la durée estimée.
Conseil : Ici, 0,666… h ne fait pas 66 minutes : multiplie par 60 pour convertir.
Exercice 5 : fonctions (20 points)
La courbe de f et le tableau de valeurs sont en annexe page 9, à rendre avec la copie. Sur cette courbe, on lit f(−3) = 0 et f(−2) = −3, déjà inscrits dans le tableau.
Question 1) a)
Dire, en regardant la courbe, si f est affine.
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
La courbe de f n’est pas une droite.
Non, f n’est pas une fonction affine.
Question 1) b)
Lire sur la courbe les valeurs qui manquent dans le tableau.
On lit l’ordonnée du point de la courbe pour chaque abscisse.
f(−1) = −4
f(0) = −3
f(1) = 0
f(2) = 5
Pour x = −1, 0, 1 et 2, on complète avec −4, −3, 0 et 5.
Question 1) c)
Trouver la formule du tableur qui donne les valeurs de f.
On teste les formules avec les valeurs du tableau.
= B1 + 3 donnerait 1 en C2, car −2 + 3 = 1. Or f(−2) = −3.
= SOMME(B1 : G1) donnerait −3 en B2, car −3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 = −3. Or f(−3) = 0.
= (B1 + 3)*(B1 – 1) donne 0 × (−4) = 0 en B2, et 1 × (−3) = −3 en C2. Elle convient.
La bonne formule est = (B1 + 3)*(B1 – 1).
Question 2) a)
Calculer g(−2).
g(−2) = 2 × (−2) + 1 = −4 + 1 = −3
L’image de −2 par g est −3.
Question 2) b)
Trouver la valeur de g en 3.
g(3) = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
g(3) = 7.
Question 2) c)
Trouver le nombre dont l’image par g vaut 2.
On résout g(x) = 2.
2x + 1 = 2
2x = 1
x = 1/2 = 0,5
Contrôle : g(0,5) = 2 × 0,5 + 1 = 2.
L’antécédent de 2 par g est 0,5.
Question 2) d)
Tracer la droite qui représente g sur le graphique de l’annexe.
g est affine : sa représentation est une droite. Deux points suffisent.
Les questions a) et b) donnent les points de coordonnées (−2 ; −3) et (3 ; 7).
On place ces deux points et on trace la droite à la règle.
Contrôle : elle coupe l’axe des ordonnées en 1, car g(0) = 1.
La droite passe par (−2 ; −3), (0 ; 1) et (3 ; 7).
Question 3) a)
Écrire le produit (x + 3)(x − 1) sans parenthèses, sous forme réduite.
(x + 3)(x − 1) = x × x + x × (−1) + 3 × x + 3 × (−1)
(x + 3)(x − 1) = x² − x + 3x − 3
(x + 3)(x − 1) = x² + 2x − 3
(x + 3)(x − 1) = x² + 2x − 3.
Question 3) b)
Trouver les nombres qui ont la même image par f et par g.
On résout f(x) = g(x), avec la forme développée de f.
x² + 2x − 3 = 2x + 1
x² − 3 = 1
x² = 4
x = 2 ou x = −2
Contrôle : f(2) = 5 et g(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Puis f(−2) = −3 et g(−2) = −3.
Sur le graphique, la droite coupe la courbe aux points de coordonnées (−2 ; −3) et (2 ; 5).
f(x) = g(x) pour x = 2 et pour x = −2.
Conseil : Une équation x² = 4 a ici deux solutions : ne t’arrête pas à x = 2.
Exercice 6 : hexagone régulier (16 points)
Les angles d’un hexagone régulier mesurent 120°. Le bloc Hexagone est en annexe page 10, à rendre avec la copie. Le script principal est à la page 8.
Question 1) a)
Trouver l’angle entre le prolongement de [AB] et le côté [BC].
A, B et X sont alignés : l’angle ABX est plat et mesure 180°.
L’angle ABC mesure 120°.
Angle XBC = 180° − 120° = 60°
L’angle XBC mesure 60°.
Question 1) b)
Compléter le nombre de répétitions et l’angle du bloc Hexagone.
L’hexagone a 6 côtés : la boucle doit se répéter 6 fois.
Arrivé en B, le lutin regarde vers X. Pour se diriger vers C, il tourne de l’angle XBC, soit 60°.
Contrôle : 6 × 60° = 360°, soit un tour complet.
répéter 6 fois ; tourner de 60 degrés.
Conseil : Le lutin tourne de l’angle extérieur, et non de l’angle de 120° de l’hexagone. C’est tout l’intérêt de la question a).
Question 2) a)
Compter les hexagones tracés par le script.
Le bloc Hexagone est dans une boucle répétée 5 fois.
Le script trace 5 hexagones réguliers.
Question 2) b)
Donner le côté du premier hexagone.
La variable longueur vaut 32 avant l’entrée dans la boucle.
Le premier hexagone est tracé avant la première multiplication.
Le sujet ne donne aucune unité : on répond 32, sans en ajouter une.
Les côtés du 1ᵉʳ hexagone mesurent 32.
Question 2) c)
Donner le côté du deuxième hexagone.
Après le premier hexagone, la longueur est multipliée par 1,5.
32 × 1,5 = 48
Les côtés du 2ᵉ hexagone mesurent 48.
Question 2) d)
Reconnaître le dessin produit par le script.
Les côtés mesurent successivement 32, 48, 72, 108 et 162 : les hexagones sont de plus en plus grands. Cela écarte le dessin 1.
Après un hexagone, le lutin a fait un tour complet : il revient à son point de départ, tourné vers la droite.
Le script ne le déplace pas entre deux hexagones. Les 5 hexagones partent donc du même sommet, avec un premier côté dirigé vers la droite.
Sur le dessin 3, ils ont un sommet commun et leur côté du bas est sur la même ligne. Sur le dessin 2, ils ont le même centre, ce qui demanderait de déplacer le lutin.
Le dessin 3 correspond à ce script.
Les erreurs à éviter sur ce sujet
Exercice 3, question 3 : répondre 7 rouleaux en arrondissant 7,2.
Prendre 8 rouleaux.
7 rouleaux couvrent 42 m², alors que le toit mesure 43,2 m².
Exercice 3, question 5 : calculer 12 × 8,2 × 10 avec l’épaisseur en centimètres.
Convertir d’abord : 12 × 8,2 × 0,1 = 9,84 m³, puis 393,6 kg.
Le volume doit être en m³ pour utiliser 40 kg par m³.
Exercice 4, question 2 : écrire 3/0,8 = PN/0,741.
Écrire 3/3,8 = PN/0,741.
Dans le théorème de Thalès, les longueurs sont prises depuis le sommet commun D : on compare DP à DV, et non à PV.
Exercice 5, question 3) b) : ne donner que x = 2.
Donner aussi x = −2.
(−2)² = 4 également, et la droite coupe la courbe en deux points.
Exercice 6, question 1) b) : saisir 120 dans le bloc « tourner ».
Saisir 60.
Le lutin tourne de l’angle extérieur XBC. Avec 120°, il tracerait un triangle équilatéral.
Questions fréquentes
Combien de temps dure ce sujet du brevet de maths 2023 de Nouvelle-Calédonie ?
L’épreuve dure 2 heures et elle est notée sur 100 points. La calculatrice est autorisée, en mode examen ou de type collège, et le dictionnaire est interdit.
Comment les points sont-ils répartis sur ce sujet ?
L’exercice 1 vaut 15 points, l’exercice 2 et l’exercice 3 en valent 18 chacun, l’exercice 4 en vaut 13, l’exercice 5 en vaut 20 et l’exercice 6 en vaut 16.
Que faut-il rendre avec la copie ?
Les annexes des pages 9 et 10 : le graphique et le tableau de l’exercice 5, puis le bloc Hexagone de l’exercice 6. Écris tes réponses à ces questions directement sur ces feuilles.
Que faire si je ne termine pas une question de recherche ?
Pour la question des tomates et pour celle de la masse de ouate, le sujet précise que toute trace de recherche compte. Écris donc tes essais et tes calculs, même incomplets.
Les cours à revoir
Proposition de corrigé rédigée par Meilleur Étudiant, sans valeur officielle : le ministère ne publie pas de corrigé, et le barème réel appartient aux correcteurs. Ce sujet date d’avant la note sur 20 du brevet : son barème suit l’ancienne notation. Une erreur ? Écris-nous à contact@meilleuretudiant.fr.